"Paris e os Novos Matemáticos" - Gaspard Monge (1746 - 1818)

Aniversário de Leonhard Euler

Leonhard Euler, nasceu a 15 de Abril de 1707, e morreu em 18 de Setembro de 1783. Foi o matemático mais prolífico da história. Os seus 866 livros e artigos representam aproximadamente um terço do corpo inteiro de pesquisa em matemática, teorias físicas e engenharia mecânica publicadas entre 1726 e 1800. Em Matemática Pura, Euler integrou o Cálculo Diferencial de Leibniz e o método de Newton em Análise Matemática; aperfeiçoou a noção de função; criou muitas notações matemáticas comuns, incluindo o e, i, o símbolo do pi e o símbolo do sigma e propôs a fundação para a Teoria das Funções Especiais, introduzindo as funções transcedentais beta e gamma.

Euler também trabalhou nas origens do Cálculo de Variações, mas reteve o seu trabalho em deferência para com Lagrange. Euler foi pioneiro no campo da Topologia e fez da Teoria dos Números uma ciência, declarando o Teorema dos Número Primos e a Lei da Reciprocidade Biquadrática. Em Física, articulou a Dinâmica newtoniana e colocou a fundação da Mecânica Analítica, especialmente na sua Teoria dos Movimentos de Corpos Rígidos (1765). Com o seu professor Johann Bernoulli, elaborou a Mecânica Contínua, mas também trabalhou com a Teoria Cinética dos gases e com o modelo molecular. Com Alexis Clairaut estudou a teoria lunar. Euler também fez pesquisa fundamental em elasticidade, acústica, a Teoria Ondulatória da Luz e a Hidromecânica de navios.

Euler nasceu em Basel, Suíça. O seu pai, um pastor, queria que o filho seguisse os passos dele e enviou-o para a Universidade de Basileia para prepará-lo para o ministério, mas geometria tornou-se logo o seu assunto favorito. Pela intercessão de Bernoulli, Euler obteve o consentimento de seu pai para mudar para o curso de Matemática. Depois de não ter conseguido uma posição de físico em Basileia, em 1726, Euler foi para a Academia de Ciências de Sampetersburgo, em 1727. Tornou-se o professor de Física na Academia em 1730 e professor de Matemática em 1733. Quando casou deixou a casa de Bernoulli. A reputação dele cresceu depois da publicação de muitos artigos e o seu livro "Mechanica" (1736-37), que apresentou extensivamente pela primeira vez dinâmica newtoniana na forma de Análise Matemática.

Em 1741, Euler foi para a Academia de Ciências de Berlim, onde permaneceu durante 25 anos. Em 1744, tornou-se o director da secção de Matemática da Academia. Durante a sua permanência em Berlim, escreveu mais de 200 artigos, três livros de Análise Matemática e uma obra de divulgação científica, "Cartas para Princesa de Alemanha" (3 volumes, 1768-72). Em 1755, foi eleito membro estrangeiro da Academia de Ciências de Paris, tendo recebido, durante a sua carreira, 12 desses prémios bienais prestigiosos.

Em 1766, Euler voltou à Rússia, depois de Catarina, a Grande lhe ter feito uma oferta generosa. Na época, Euler estava de más relações com Frederico, o Grande devido ao tema da liberdade académica e outros assuntos. Frederico ficou enfurecido aquando da partida de Euler e convidou Lagrange para substitui-lo. Na Rússia, Euler ficou quase completamente cego depois de uma operação às cataratas, mas pôde continuar com a sua pesquisa e com as suas obras. Euler teve uma memória prodigiosa e pôde ditar tratados de óptica, álgebra e movimento lunar. Quando morreu, em 1783, deixou uma reserva vasta de artigos. A Academia de Sampetersburgo continuou a publicá-los durante os 50 anos seguintes.

Adaptado.

No clip a seguir, o professor William Dunham dá uma interessante palestra de tributo a Euler.

"17 equações que mudaram o Mundo"

 Ler aqui.

Alan Turing

«Alan Mathison Turing ha sido uno de los matemáticos más excepcionales del siglo XX. Sin embargo, el éxito de la aplicación de sus resultados a las ciencias de la computación ha sido tan grande que ha opacado el valor de sus matemáticas. A esto se añade que su trabajo en la descodificación de los códigos de las máquinas Enigma en la Segunda Guerra Mundial ha sido valorado relativamente tarde, y todavía depara sorpresas matemáticas a medida que los materiales secretos del ejército británico van siendo desclasificados.»

Ler na íntegra aqui.

Niccolò Fontana Tartaglia

O matemático italiano Niccolò Tartaglia faleceu neste dia há 455 anos.

Este texto dá-nos um retrato da sua vida e da sua obra.

A Geometria Não Euclidiana*

*Homenagem aos 220 anos do nascimento de Nikolai Lobatchevski (1792 - 1856)

Outra biografia de N. Lobatchevski - aqui.

Do zero ao infinito

Marcus du Sautoy  leva-nos numa viagem através da história dos números, desde a invenção do zero até ao infinito.

O contabilista que mudou o Mundo

«Luca Pacioli was a monk, magician and lover of numbers. He discovered this special bookkeeping in Venice and was intrigued by it. In 1494, he wrote a huge math encyclopedia and included an instructional section on double-entry bookkeeping.»

O legado de Pitágoras

Uma breve História da Matemática

Marcus du Sautoy dá a conhecer, em poucos minutos, personalidades de matemáticos que levaram ao progresso da Matemática ao longo dos séculos.

Para escutar aqui.

Pascal visto por Chateaubriand

Blaise Pascal (1623 - 1662)

«Houve um homem que, aos doze anos, com barras e rodas, criara as matemáticas; que, aos dezasseis, fizera o mais perfeito tratado dos cónicos aparecido desde a antiguidade; que, aos dezanove, reduziu a máquina uma ciência que existe toda no entendimento; que, aos vinte e três, demonstrou os fenómenos do peso e do ar, e desfez um dos grandes erros da física antiga; que, na idade em que os outros homens começam a nascer, tendo acabado de perlustrar o círculo das ciências humanas, deu pelo seu nada e voltou os seus pensamentos para a religião; que, desde essa hora até à morte, que foi aos trinta e nove anos de sua vida, sempre enfermo e com dores, fixou a língua falada por Bossuet e Racine, e foi modelo da graça mais perfeita e do raciocínio mais forte; que, enfim, nos curtos intervalos de seus males, resolveu, para se distrair, um dos mais altos problemas de geometria e lançou no papel pensamentos que mais pareciam de um deus que de um homem.»

François-René de Chateaubriand

O Último Teorema de Fermat - 4.ª e 5.ª partes

Assim termina este excelente documentário sobre a demonstração do último teorema de Fermat.

Para saber mais sobre esta autêntica aventura, estão publicados alguns livros sobre este assunto: pela editora Gradiva e também pela editora brasileira Record.

O Último Teorema de Fermat - 3.ª parte

Terceira parte do documentário sobre a demonstração do teorema de Fermat.

O Último Teorema de Fermat - 2.ª parte

Continuação da "saga" que foi a demonstração do Teorema de Fermat.

O Último Teorema de Fermat - 1.ª parte

Inicio aqui a divulgação deste excelente documentário sobre a demonstração do último Teorema de Fermat, que afirma que se n é um número inteiro maior do que 2, então não existem números naturais, a, b e c, tais que se verifique a igualdade a^n + b^n = c^n, com a, b > 0.

Matemáticos ao longo da História

Muito interessante este filme. Podemos identificar vários matemáticos importantes para a História da Matemática, desde a Grécia Antiga com Tales de Mileto, Arquimedes, Hipátia de Alexandria, passando por Fibonacci, Fermat, Barrow, Euler, Gauss e terminando em Nash.

A conjectura de Goldbach

Christian Goldbach (1690 - 1764) estudou Leis e Medicina na Universidade de Konigsberg, adquirindo conhecimentos mais profundos de Matemática ao trocar correspondência com Leibniz, com os irmãos Bernouilli e com outros matemáticos importantes do início do século XVIII. Em 1725, Goldbach passou a trabalhar na Academia Imperial de Sampetersburgo, recebendo também cargos importantes na Corte e no governo imperial. Na Rússia conheceu Euler, com quem se passou a corresponder e é numa carta endereçada a este, datada de 7 de Junho de 1742, que enuncia que qualquer número inteiro maior do que seis parece ser a soma de três números primos.

Euler depressa verifica que este enunciado se pode separar em dois:
- Todo o número par, maior do que 2, é a soma de dois números primos;
- Todo o número ímpar é a soma de três números primos.

Esta última afirmação viria a ser provada nos anos 30 do século passado pelo matemático soviético Vinogradov, mas a primeira, conhecida por conjectura de Goldbach, ainda não foi demonstrada, embora possamos verificar a sua plausibilidade: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7; 12 = 5 + 7; ...

Vários matemáticos tentaram a sua demonstração: Cantor, Aubry, Haussner, Vinogradov. Com o auxílio de computadores já foi possível provar a veracidade da hipótese para números da ordem de 10 elevado a 14.

No clip acima podemos assistir a uma cena do filme espanhol de 2007,  La habitación de Fermat, realizada por Luis Piedrahita e por Rodrigo Sopeña. 

História dos números

Pequeno filme que narra a evolução do conceito de número, desde a pré-história até aos nossos dias.

A História do Zero

Há duas utilizações distintas para o zero, sendo ambas extremamente importantes: a primeira é como indicação de lugar vazio no sistema numérico de valor por posição (por exemplo, num número como 3509, o zero é usado para que as posições do 3 e do 5 sejam as correctas); a segunda utilização do zero é como um número em si mesmo, no modo como o usamos como 0. Outros aspectos diferentes do zero nestas duas utilizações é o seu conceito, a sua notação e o seu nome, que deriva do árabe sifr, que também deu origem à palavra "cifra".

Podemos pensar que logo que surge um sistema numérico de valor posicional, então o 0, como indicação de posição vazia, é uma ideia necessária, embora os babilónios, que usaram um sistema numérico de valor posicional, nunca tenham utilizado esta característica durante mil anos. Os babilónios escreviam em tábuas de argila usando escrita cuneiforme, que sobreviveram até hoje, tendo origem cerca do ano 1700 a.C., em que podemos verificar a utilização de um sistema de base 60.

Tábua com escrita cuneiforme

Numa tábua encontrada em Kish, no Iraque de hoje, o "autor" usou três "ganchos" para assinalar um espaço vazio na notação posicional. Outras tábuas, com idades próximas, usam apenas um "gancho" para o lugar vazio, nunca aparecendo no final do número, mas entre os algarismos. Assim, o nosso 3509 seria escrito como 35"9, não aparecendo nunca 359". Provavelmente o contexto em que se anotavam tais números seria suficiente para os distinguir.

Os gregos iniciaram as suas contribuições para a Matemática na época em que o zero como indicador da posição vazia num número começava a ser usada pelos babilónios, embora aqueles não tenham adoptado um sistema numérico de posição, uma vez que os gregos se baseavam fundamentalmente na Geometria. Mesmo Euclides (360-295 a.C.), nos seus Elementos, embora com uma parte sobre Teoria dos Números (livros VII a IX), se baseia na Geometria. Os astrónomos gregos tinham necessidade de usar o zero nos seus registos de dados astronómicos, encontrando-se aqui a primeira utilização do símbolo que podemos reconhecer como zero, o O, provavelmente com origem na primeira letra da palavra grega para "nada" ("ouden"), o ómicron. Investigações recentes parecem desmentir tal origem, uma vez que os gregos usavam o ómicron para representar o número 70 (o sistema numérico dos gregos era baseado no seu alfabeto). Outra explicação para a utilização de O será a existência de uma moeda de pequeno valor, o "obol".

Sistema numérico grego, baseado no alfabeto

Cláudio Ptolomeu (90 - 68), no Almagesto, escrito cerca do ano 130 da nossa Era, usou o sistema sexagesimal babilónico juntamente com o parâmetro O como vazio. Ptolomeu usava este símbolo quer entre dígitos, quer no final do número, o que nos levaria a pensar que o zero como significado de vazio se estabelecia firmemente - o que está longe da realidade.

É na Índia, local onde nasceram os números e os sistemas numéricos, os quais evoluíram para os sistemas sofisticados que hoje utilizamos, que surge o conceito matemático de zero, por volta do ano 650 d.C., uma vez que os hindus utilizavam um sistema de valor por posição e o zero era usado para notar um lugar vazio. De facto, há evidências de um parâmetro de lugar vazio em números posicionais desde 200 d.C. na Índia, porém vários historiadores julgam-nas falsificações posteriores.

Cerca do ano 500, Aryabhata (476 - 550) concebeu um sistema numérico de posição que ainda não tinha o zero. Usou a palavra "kha" para a posição, que seria mais tarde usada como denominação para o zero. Matemáticos hindus posteriores, nomearam o zero em números posicionais, ainda que não tivessem um símbolo para o representar, sendo o primeiro registo da sua utilização no ano 876, na cidade de Gwalior, a sul de Deli, onde se construíram uns jardins de 187 por 270, o qual podia produzir um número suficiente de flores para permitir que se oferecessem 50 grinaldas por dia ao templo local. Tanto 270 e como 50 estão escritos quase como hoje o fazemos, ainda que o 0 seja mais pequeno e ligeiramente elevado.

Evolução da notação numérica hindu

Pode considerar-se assim a primeira aparição do zero como número. A ideia de número torna-se cada vez mais abstracta, sendo então possível considerar o zero e os números negativos, os quais não surgiram como propriedades das colecções de objectos. O problema coloca-se quando se tenta considerar o zero e os números negativos na interacção nas operações aritméticas. Os matemáticos Brahmagupta (589 - 668), Mahavira e Bhaskara (1114 - c. 1193), tentaram dar uma resposta a estas questões.

Brahmagupta estabeleceu as regras para a aritmética, tendo em conta o zero e os números negativos, no século VII, afirmando que, dado um número, se subtrai a si mesmo obtém-se o zero. Deu também as regras para a soma que implicavam o zero: a soma de zero com um número negativo, é um número negativo; a soma de um número positivo com zero é um número positivo e a soma de zero com zero é zero. A subtracção é um pouco mais complexa: um número negativo subtraído de zero é um número positivo; um número positivo subtraído de zero é um número negativo; o zero subtraído de um número negativo é um número negativo; o zero subtraído de um número positivo é um número positivo e o zero subtraído do zero é zero.

Brahmagupta afirmou também que qualquer número multiplicado por zero é zero, mas demonstra algumas dificuldades com a divisão: um número positivo ou negativo quando é dividido por zero, é uma fracção com o zero como denominador. O zero dividido por um número positivo ou negativo, é o zero, ou expresso como fracção o zero como numerador e uma quantidade finita como denominador. O zero dividido por zero é zero. Na verdade, Brahmagupta diz muito pouco quando sugere que n dividido por 0 é n/0 e certamente se engana quando diz que zero dividido por zero é zero, no entanto, é uma brilhante tentativa por parte da primeira pessoa que tentou estender a aritmética aos números negativos e ao zero.

No ano 830, Mahavira escreveu Ganita Sara Samgraha, que foi uma actualização da obra de Brahmagupta, onde afirma correctamente que um número multiplicado por zero é zero e um número permanece igual a si se se lhe subtrai zero. Porém as suas tentativas de melhorar as afirmações de Brahmagupta sobre a divisão por zero não surtem efeito, uma vez que escreve que que um número permanece inalterado quando é dividido por zero, o que está incorrecto.

Bhaskara, uns 500 anos depois de Brahmagupta, escreveu a sua obra, mas continua com problemas para corrigir os seu antecessor quanto à divisão por zero: uma quantidade dividida por zero, converte-se numa fracção cujo denominador é igual a zero. esta fracção tem como valor uma quantidade infinita.

O zero entrava, assim, definitivamente, na História da Matemática.

Fontes:
Struik, Dirk; História Concisa das Matemáticas, Lisboa, Gradiva, 1992
Boyer, Carl; História da Matemática; São Paulo, Editora Blucher, 1981
Boll, Marcel; As Etapas da Matemática, Lisboa, Publicações Europa-América, s.d.
Contador, Paulo R. M.; Matemática - Uma Breve História, São Paulo, Editora Livraria da Física, 2008
Garbi, Gilberto G.; A Rainha das Ciências - Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática, São Paulo, Editora Livraria da Física, 2009
Três noções numéricas básicas: número, numeral e algarismo
Wikipedia

Augustus De Morgan e as suas leis

Augustus De Morgan nasceu em Madras, na Índia, a 27 de Junho de 1806. O pai de Augustus , John De Morgan (que faleceu quando Augustus tinha 10 anos), servia na Índia como tenente-coronel ao serviço da Companhia das Índias Orientais, sendo Augustus o seu quinto filho. Augustus perdeu a visão do olho direito pouco tempo depois de nascer e aos sete meses acompanhou a sua família no regresso a Inglaterra.

A combinação da sua deficiência e a falta de socialização não deixou que Augustus se destacasse na escola. Não participava nas brincadeiras com os colegas e chegava a ser vítima de partidas cruéis provocadas por estes. Apesar do seu avô materno ser um eminente professor de Matemática, o talento de Augustus ficou escondido até aos 14 anos, mostrando então que lia Álgebra como se fosse um romance e que tinha muito jeito para desenhar caricaturas.

Em 1823 entrou no Trinity College em Cambridge, sendo influenciado pelos seus mestres George Peacock (1791 - 1858) e William Whewell (1794 - 1866), cimentando-se entre mestres e aluno uma amizade duradoura. Bacharelou-se quatro anos depois, mas como lhe foi pedido um exame teológico para obter o grau de mestre em Artes e Augustus se recusou a realizá-lo - apesar de ser membro da Igreja Anglicana -, não pôde ser eleito para professor em Cambridge, tendo igualmente rejeitado seguir a carreira eclesiática, como era desejo da sua família.


Augustus De Morgan (1806 - 1871)


Em 1826 regressou a Londres, frequentando Lincoln's Inn de forma a preparar-se para exercer advocacia. Em 1827, com 21 anos, candidatou-se ao lugar de professor de Matemática na recém fundada Universidade de Londres, depois conhecida por University College, apesar de não ter publicado nada sobre a matéria. Recomendado por Peacock e Whewell, conseguiu o lugar, tornando-se, em 1818, o primeiro professor de Matemática da Universidade de Londres, intitulando-se a sua primeira lição On the study of Mathematics.

Defensor da tolerância religiosa e intelectual, em 1831 demitiu-se das suas funções devido à demissão sem explicações de um colega professor. Augustus De Morgan regressou ao lugar de professor cinco anos depois, devido à morte por afogamento do seu substituto, e aí permaneceu até 1866, resignando uma vez mais devido à falta de liberdade académica. Em 1830 publica o seu livro Elements of Arithmetic, que foi inúmeras vezes reeditado. Em 1837, desposou Sophia Elizabeth Frend, tendo sete filhos e, no ano seguinte, definiu e introduziu o termo indução matemática num artigo que escrevera para a Penny Ciclopedia - obra publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge -  onde escrevera 712 artigos. Foi também aquela associação quem publicou em fascículos a sua obra The Differencial and Integral Calculus (1836 - 1842). Em 1845 introduziu a notação do traço de fracção inclinado, em 1849 publicou Trigonometry and double algebra, onde apresentou uma interpretação geométrica dos números complexos.

Os trabalhos mais importantes de De Morgan são nas áreas das probabilidades e da lógica matemática. Na sua obra Formal Logic (1847), De Morgan acrescentou um novo princípio à lógica aristotélica. Nesta, as premissas "Alguns músicos são artistas" e "Alguns músicos são solteiros", não têm conclusão. A lógica aristotélica afirma que o termo "músicos" é utilizado universalmente e que "todos os músicos" deve ocorrer, porém De Morgan introduziu a forma "A maioria dos músicos são artistas" e "A maioria dos músicos são solteiros".

Além da sua teoria dos silogismos, De Morgan é mais conhecido pelas leis que têm o seu nome - Leis de Morgan: negar que se realizam em simultâneo dois acontecimentos, é afirmar que não se realiza pelo menos um deles e negar que se realiza pelo menos um de dois acontecimentos, é afirmar que não se realiza nem um nem outro. Simbolicamente, as leis são dadas por:

De Morgan foi autor de biografias de Newton e de Halley e publicou vários estudos sobre matemáticos e história das diferentes ideias matemáticas. De Morgan, que foi um excelente professor, acreditava na importância da História da Matemática para os seus alunos, para que estes compreendessem a evolução desta ciência. Correspondeu-se com Charles Babbage (1791 - 1871) e deu lições privadas a Lady Lovelace (1815 - 1852), que foi a autora do primeiro programa de computador para Babbage.

De Morgan nunca aceitou ser membro da Royal Society, alegando que a eleição dos seus membros era mais afectada por influências sociais do que por mérito científico, tendo também rejeitado um grau honorífico da Universidade de Edinburgh. Em 1866, foi um dos fundadores e primeiro presidente da Mathematical Society de Londres.

As mortes prematuras de dois dos seus filhos, afectaram a saúde de De Morgan, que veio a falecer de exaustão nervosa em sua casa, a 18 de Março de 1871.

Aqui, além de uma biografia, há uma lista das obras de De Morgan e uma série de ligações para se conhecer melhor este matemático.