Função exponencial e logaritmos

Aqui ficam dois clips onde se explica a função exponencial e o cálculo com logaritmos.

O Último Teorema de Fermat - 4.ª e 5.ª partes

Assim termina este excelente documentário sobre a demonstração do último teorema de Fermat.

Para saber mais sobre esta autêntica aventura, estão publicados alguns livros sobre este assunto: pela editora Gradiva e também pela editora brasileira Record.

O Último Teorema de Fermat - 3.ª parte

Terceira parte do documentário sobre a demonstração do teorema de Fermat.

O Último Teorema de Fermat - 2.ª parte

Continuação da "saga" que foi a demonstração do Teorema de Fermat.

O Último Teorema de Fermat - 1.ª parte

Inicio aqui a divulgação deste excelente documentário sobre a demonstração do último Teorema de Fermat, que afirma que se n é um número inteiro maior do que 2, então não existem números naturais, a, b e c, tais que se verifique a igualdade a^n + b^n = c^n, com a, b > 0.

Matemáticos ao longo da História

Muito interessante este filme. Podemos identificar vários matemáticos importantes para a História da Matemática, desde a Grécia Antiga com Tales de Mileto, Arquimedes, Hipátia de Alexandria, passando por Fibonacci, Fermat, Barrow, Euler, Gauss e terminando em Nash.

A conjectura de Goldbach

Christian Goldbach (1690 - 1764) estudou Leis e Medicina na Universidade de Konigsberg, adquirindo conhecimentos mais profundos de Matemática ao trocar correspondência com Leibniz, com os irmãos Bernouilli e com outros matemáticos importantes do início do século XVIII. Em 1725, Goldbach passou a trabalhar na Academia Imperial de Sampetersburgo, recebendo também cargos importantes na Corte e no governo imperial. Na Rússia conheceu Euler, com quem se passou a corresponder e é numa carta endereçada a este, datada de 7 de Junho de 1742, que enuncia que qualquer número inteiro maior do que seis parece ser a soma de três números primos.

Euler depressa verifica que este enunciado se pode separar em dois:
- Todo o número par, maior do que 2, é a soma de dois números primos;
- Todo o número ímpar é a soma de três números primos.

Esta última afirmação viria a ser provada nos anos 30 do século passado pelo matemático soviético Vinogradov, mas a primeira, conhecida por conjectura de Goldbach, ainda não foi demonstrada, embora possamos verificar a sua plausibilidade: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7; 12 = 5 + 7; ...

Vários matemáticos tentaram a sua demonstração: Cantor, Aubry, Haussner, Vinogradov. Com o auxílio de computadores já foi possível provar a veracidade da hipótese para números da ordem de 10 elevado a 14.

No clip acima podemos assistir a uma cena do filme espanhol de 2007,  La habitación de Fermat, realizada por Luis Piedrahita e por Rodrigo Sopeña. 

Critérios de divisibilidade

Por 2
Um número é divisível por 2 quando é par (o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6, 8).
Por exemplo são divisíveis por 2: 46, 188, 234…

Por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é 0, 3, 6 ou 9.
Por exemplo: 147 – 1 + 4 + 7 = 12 (pode somar-se novamente) e 1 + 2 = 3.
167 265 - 1 + 6 + 7 + 2 + 6 + 5 = 27 e 2 + 7 = 9 é divisível.
65 926 - 6 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28 e 2 + 8 = 10 não é divisível por 3.

Por 4
Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4.
Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, deve ser um número par e a sua metade continuar par.
Por exemplo: 758 836 - 36 é par e metade de 36 é 18 que é par, então o número é divisível por 4.
9 881 654 - 54 é par mas metade não é o número par, logo não é divisível por 4.

Por 5
Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

Por 6
Se um número for divisível por 2 e por 3 é divisível por 6.

Por 7
Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número. Se o resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7.
Por exemplo:
245 - 5 x 2 = 10 e depois 24 – 10 = 14 então é divisível por 7.

1589 - 9 x 2 = 18 e 158 – 18 = 140 então é divisível por 7 .
204 568 - 8 x 2 = 16 e 20456 – 16 = 20440 e aplicando novamente
0 x 2 = 0 2044 – 0 = 2044 e novamente
4 x 2 = 8 204 – 8 = 196 e novamente
6 x 2 = 12 19 – 12 = 7
então é divisível por 7.

Por 8
Se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8, então o número é divisível por 8. (Três últimos pares, a sua metade par e novamente metade par).
772 673 290 168 - 168 é par , 168 : 2 = 84 é par e 84 : 2 = 32 é par, então o número inicial é divisível por 8.

Por 9
Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove.
Por exemplo: 3 464 514 - 3 + 4 + 6 + 4 + 5 + 1 + 4 = 27 e 2 + 7 = 9, então é divisível por 9
4 524 562 - 4 + 5 + 2 + 4 + 5 + 6 + 2 = 28 e 2 + 8 = 10, então não é divisível por 9.

Por 10
Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades é zero.

Por 11
Soma-se o 1.º, o 3.º, o 5.º, o 7.º algarismo….
Soma-se o 2.º, o 4.º, o 6.º, o 8.º algarismo ….
Se a diferença for múltiplo de 11 (incluindo o zero), então o número é divisível por 11.
Por exemplo: 94 186 565 - 9 + 1 + 6 + 6 = 22
4 + 8 + 5 + 5 = 22 e 22 – 22 = 0, então o número é divisível por 11.
4 723 866 862 - 4 + 2 + 8 + 6 + 6 = 26
7 + 3 + 6 + 8 + 2 = 26 e 26 – 26 = 0, então o número é divisível por 11.
Por 12
Se o número for divisível por 3 e por 4 é divisível por 12.

Por 13
Multiplica-se o algarismo das unidades por 9 e subtrai-se do restante número. Se o resultado for múltiplo de 13 então o número inicial é múltiplo de 13.
Por exemplo:
1105 - 5 x 9 = 45 e 110 – 45 = 65 ( se ainda tiver dúvidas pode fazer novamente…. ) que é múltiplo de 13 - 13 x 5 = 65

Algoritmo da raiz quadrada

Com este filme podemos aprender a determinar a raiz quadrada de um número inteiro positivo, através do seu algoritmo. Para esquecer por momentos a máquina de calcular e para "treinar" o cálculo com lápis e papel.

História dos números

Pequeno filme que narra a evolução do conceito de número, desde a pré-história até aos nossos dias.

Algumas técnicas de cálculo

- Para somar um número por 9, 99, 999, etc. basta somar 10, 100, 1000, respectivamente e subtrair 1.

Por exemplo: 184 + 9 = (184 + 10) – 1 = 194 – 1 = 193

- Para somar três números consecutivos, basta multiplicar a segunda parcela por 3.

Por exemplo: 277 +278 + 279 = 3 x 278 = 834

- Para multiplicar um número por 5, basta dividi-lo por 2 e multiplicar o resultado por 10.

Por exemplo: 28 x 5 = (28 : 2) x 10 = 14 x 10 = 140

- Para multiplicar um número por 25, basta dividi-lo por 4 e multiplicar o resultado por 100.

Por exemplo: 48 x 25 = (48 : 4) x 100 = 12 x 100 = 1200


Multiplicação de dois números entre 10 e 20

- Para multiplicar dois números entre 10 e 20, basta somar a unidade do segundo número ao primeiro, multiplicar por 10 e em seguida adicionar o produto das unidades.

Por exemplo: 14 x 19 = (14 + 9) x 10 + 4 x 9 = 230 + 36 = 266


Multiplicação de dois números entre 100 e 110

- Para multiplicar dois números entre 100 e 110, soma-se o primeiro com as unidades do segundo, multiplica-se o resultado por 100 e em seguida adiciona-se o produto das unidades.

Por exemplo: 107 x 102 = (107 + 2) x 100 + 7 x 2 = 10 900 + 14 = 10 914


Multiplicação de um número por 11

- Para multiplicar um número por 11, basta adicionar o número com 10 vezes o seu valor.

Por exemplo: 18 x 11 = 180 + 18 = 198


Quadrado de um número terminado em 5

- Para elevar ao quadrado um número com dois algarismos que termine em cinco, multiplica-se o primeiro algarismo por si mesmo adicionado a 1 e coloca-se 25 no final.

Por exemplo: 35^2 = 3 x (3 + 1) = 9 + 3 = 12 – junta-se 25. Resultado: 35^2 = 1225


Adição de números em sequência

- Qual o resultado de: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10?
Basta dividir o número maior por 2 e multiplicá-lo pela soma dos números extremos.

Por exemplo: (10 : 2) x (10 + 1) = 5 x 11 = 55

A História do Zero

Há duas utilizações distintas para o zero, sendo ambas extremamente importantes: a primeira é como indicação de lugar vazio no sistema numérico de valor por posição (por exemplo, num número como 3509, o zero é usado para que as posições do 3 e do 5 sejam as correctas); a segunda utilização do zero é como um número em si mesmo, no modo como o usamos como 0. Outros aspectos diferentes do zero nestas duas utilizações é o seu conceito, a sua notação e o seu nome, que deriva do árabe sifr, que também deu origem à palavra "cifra".

Podemos pensar que logo que surge um sistema numérico de valor posicional, então o 0, como indicação de posição vazia, é uma ideia necessária, embora os babilónios, que usaram um sistema numérico de valor posicional, nunca tenham utilizado esta característica durante mil anos. Os babilónios escreviam em tábuas de argila usando escrita cuneiforme, que sobreviveram até hoje, tendo origem cerca do ano 1700 a.C., em que podemos verificar a utilização de um sistema de base 60.

Tábua com escrita cuneiforme

Numa tábua encontrada em Kish, no Iraque de hoje, o "autor" usou três "ganchos" para assinalar um espaço vazio na notação posicional. Outras tábuas, com idades próximas, usam apenas um "gancho" para o lugar vazio, nunca aparecendo no final do número, mas entre os algarismos. Assim, o nosso 3509 seria escrito como 35"9, não aparecendo nunca 359". Provavelmente o contexto em que se anotavam tais números seria suficiente para os distinguir.

Os gregos iniciaram as suas contribuições para a Matemática na época em que o zero como indicador da posição vazia num número começava a ser usada pelos babilónios, embora aqueles não tenham adoptado um sistema numérico de posição, uma vez que os gregos se baseavam fundamentalmente na Geometria. Mesmo Euclides (360-295 a.C.), nos seus Elementos, embora com uma parte sobre Teoria dos Números (livros VII a IX), se baseia na Geometria. Os astrónomos gregos tinham necessidade de usar o zero nos seus registos de dados astronómicos, encontrando-se aqui a primeira utilização do símbolo que podemos reconhecer como zero, o O, provavelmente com origem na primeira letra da palavra grega para "nada" ("ouden"), o ómicron. Investigações recentes parecem desmentir tal origem, uma vez que os gregos usavam o ómicron para representar o número 70 (o sistema numérico dos gregos era baseado no seu alfabeto). Outra explicação para a utilização de O será a existência de uma moeda de pequeno valor, o "obol".

Sistema numérico grego, baseado no alfabeto

Cláudio Ptolomeu (90 - 68), no Almagesto, escrito cerca do ano 130 da nossa Era, usou o sistema sexagesimal babilónico juntamente com o parâmetro O como vazio. Ptolomeu usava este símbolo quer entre dígitos, quer no final do número, o que nos levaria a pensar que o zero como significado de vazio se estabelecia firmemente - o que está longe da realidade.

É na Índia, local onde nasceram os números e os sistemas numéricos, os quais evoluíram para os sistemas sofisticados que hoje utilizamos, que surge o conceito matemático de zero, por volta do ano 650 d.C., uma vez que os hindus utilizavam um sistema de valor por posição e o zero era usado para notar um lugar vazio. De facto, há evidências de um parâmetro de lugar vazio em números posicionais desde 200 d.C. na Índia, porém vários historiadores julgam-nas falsificações posteriores.

Cerca do ano 500, Aryabhata (476 - 550) concebeu um sistema numérico de posição que ainda não tinha o zero. Usou a palavra "kha" para a posição, que seria mais tarde usada como denominação para o zero. Matemáticos hindus posteriores, nomearam o zero em números posicionais, ainda que não tivessem um símbolo para o representar, sendo o primeiro registo da sua utilização no ano 876, na cidade de Gwalior, a sul de Deli, onde se construíram uns jardins de 187 por 270, o qual podia produzir um número suficiente de flores para permitir que se oferecessem 50 grinaldas por dia ao templo local. Tanto 270 e como 50 estão escritos quase como hoje o fazemos, ainda que o 0 seja mais pequeno e ligeiramente elevado.

Evolução da notação numérica hindu

Pode considerar-se assim a primeira aparição do zero como número. A ideia de número torna-se cada vez mais abstracta, sendo então possível considerar o zero e os números negativos, os quais não surgiram como propriedades das colecções de objectos. O problema coloca-se quando se tenta considerar o zero e os números negativos na interacção nas operações aritméticas. Os matemáticos Brahmagupta (589 - 668), Mahavira e Bhaskara (1114 - c. 1193), tentaram dar uma resposta a estas questões.

Brahmagupta estabeleceu as regras para a aritmética, tendo em conta o zero e os números negativos, no século VII, afirmando que, dado um número, se subtrai a si mesmo obtém-se o zero. Deu também as regras para a soma que implicavam o zero: a soma de zero com um número negativo, é um número negativo; a soma de um número positivo com zero é um número positivo e a soma de zero com zero é zero. A subtracção é um pouco mais complexa: um número negativo subtraído de zero é um número positivo; um número positivo subtraído de zero é um número negativo; o zero subtraído de um número negativo é um número negativo; o zero subtraído de um número positivo é um número positivo e o zero subtraído do zero é zero.

Brahmagupta afirmou também que qualquer número multiplicado por zero é zero, mas demonstra algumas dificuldades com a divisão: um número positivo ou negativo quando é dividido por zero, é uma fracção com o zero como denominador. O zero dividido por um número positivo ou negativo, é o zero, ou expresso como fracção o zero como numerador e uma quantidade finita como denominador. O zero dividido por zero é zero. Na verdade, Brahmagupta diz muito pouco quando sugere que n dividido por 0 é n/0 e certamente se engana quando diz que zero dividido por zero é zero, no entanto, é uma brilhante tentativa por parte da primeira pessoa que tentou estender a aritmética aos números negativos e ao zero.

No ano 830, Mahavira escreveu Ganita Sara Samgraha, que foi uma actualização da obra de Brahmagupta, onde afirma correctamente que um número multiplicado por zero é zero e um número permanece igual a si se se lhe subtrai zero. Porém as suas tentativas de melhorar as afirmações de Brahmagupta sobre a divisão por zero não surtem efeito, uma vez que escreve que que um número permanece inalterado quando é dividido por zero, o que está incorrecto.

Bhaskara, uns 500 anos depois de Brahmagupta, escreveu a sua obra, mas continua com problemas para corrigir os seu antecessor quanto à divisão por zero: uma quantidade dividida por zero, converte-se numa fracção cujo denominador é igual a zero. esta fracção tem como valor uma quantidade infinita.

O zero entrava, assim, definitivamente, na História da Matemática.

Fontes:
Struik, Dirk; História Concisa das Matemáticas, Lisboa, Gradiva, 1992
Boyer, Carl; História da Matemática; São Paulo, Editora Blucher, 1981
Boll, Marcel; As Etapas da Matemática, Lisboa, Publicações Europa-América, s.d.
Contador, Paulo R. M.; Matemática - Uma Breve História, São Paulo, Editora Livraria da Física, 2008
Garbi, Gilberto G.; A Rainha das Ciências - Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática, São Paulo, Editora Livraria da Física, 2009
Três noções numéricas básicas: número, numeral e algarismo
Wikipedia

A Matemática de Escher

Neste filme podemos observar a arte de Escher, onde a utilização das simetrias, dos padrões, das translações e da ideia de infinito está presente.

A sequência de Fibonacci - presença maravilhosa na Natureza

Triângulo de Pascal e binómio de Newton

Para compreender o funcionamento do triângulo de Pascal e do binómio de Newton:

Pavimentações

Se observarmos com atenção os favos de mel, as calçadas, os azulejos aplicados nas nossas cozinhas e casas de banho, verificamos que se tratam de pavimentações.

O que é então uma pavimentação? Uma pavimentação do plano é um conjunto de ladrilhos que cobrem o plano sem deixar espaços intermédios nem sobreposições.

As pavimentações podem classificar-se em vários tipos:pavimentações puras ou monoédricas, regulares e semi-regulares ou arquimedianas, demiregulares, periódicas e aperiódicas.

As primeiras - as pavimentações puras - são formadas por um único ladrilho.

As pavimentações regulares, são pavimentações em que os ladrilhos são polígonos regulares congruentes, isto é, têm o mesmo tamanho e forma. Só é possível quando se usam triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos. Porquê?

Sabemos que o ângulo interno de um polígono com n lados mede pi - 2pi/n radianos. Se em torno de cada vértice da pavimentação há N polígonos iguais, então N(pi - 2pi/n) = 2pi, que é o mesmo que

N(1 - 2/n) = 2, simplificando. As soluções desta equação serão para n = 3 então N = 6; para n = 4 então N = 4 e para n = 6 então N = 3, o que será, respectivamente, seis triângulos equiláteros, quatro quadrados e três hexágonos regulares. As pavimetações seguintes ilustram exemplos de pavimentações regulares:

As pavimentações semi-regulares ou arquimedianas são aquelas em que os ladrilhos são polígonos regulares de dois ou mais tipos diferentes, em que os vértices da pavimentação são todos do mesmo tipo. Se uma pavimentação é semi-regular, então os seus vértices podem ser de 21 tipos diferentes (pode vê-los aqui). Assim, apenas com 11 dos 21 tipos diferentes de vértices, é possível construir uma pavimentação. Das 11 possíveis, três são as pavimentações regulares já referidas, as oito restantes são arquimedianas, que se podem observar a seguir:

 

As pavimentações demiregulares, são constituídas por mais de um tipo de polígonos regulares e por mais de um tipo de vértices.

As pavimentações periódicas são pavimentações que, ao sofrer uma translação, é possível deslocá-la sobre si mesma, continuando os ladrilhos alinhados.

As pavimentações aperiódicas são pavimentações onde não se repete um padrão, embora seja possível existir a cobertura total do plano, sem espaços intermédios nem sobreposições.

Os primeiros registos com tratamento matemático que existem sobre a teoria das pavimentações devem-se a Johannes Kepler (1571 - 1630). No seu livro Harmonices Mundi (1619), Kepler apresenta uma classificação das pavimentações obtidas a partir dos trabalhos de Platão (c.428 - c. 348 a.C.) e de Arquimedes (287 - 212 a.C.) sobre poliedros. As pavimentações arquimedianas surgem assim por analogia com os poliedros platónicos e arquimedianos. São conhecidos os trabalhos de Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) que utilizou as pavimentações nas suas obras.

Fontes:

Gomes, Francelino; Lima, Yolanda e Viegas, Cristina, XeqMat 10.º ano vol.1, Editorial O Livro

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm22/index.html

Castro, Rosiene de Fátima, Pavimentações no plano euclidiano, Belo Horizonte, 2008

Augustus De Morgan e as suas leis

Augustus De Morgan nasceu em Madras, na Índia, a 27 de Junho de 1806. O pai de Augustus , John De Morgan (que faleceu quando Augustus tinha 10 anos), servia na Índia como tenente-coronel ao serviço da Companhia das Índias Orientais, sendo Augustus o seu quinto filho. Augustus perdeu a visão do olho direito pouco tempo depois de nascer e aos sete meses acompanhou a sua família no regresso a Inglaterra.

A combinação da sua deficiência e a falta de socialização não deixou que Augustus se destacasse na escola. Não participava nas brincadeiras com os colegas e chegava a ser vítima de partidas cruéis provocadas por estes. Apesar do seu avô materno ser um eminente professor de Matemática, o talento de Augustus ficou escondido até aos 14 anos, mostrando então que lia Álgebra como se fosse um romance e que tinha muito jeito para desenhar caricaturas.

Em 1823 entrou no Trinity College em Cambridge, sendo influenciado pelos seus mestres George Peacock (1791 - 1858) e William Whewell (1794 - 1866), cimentando-se entre mestres e aluno uma amizade duradoura. Bacharelou-se quatro anos depois, mas como lhe foi pedido um exame teológico para obter o grau de mestre em Artes e Augustus se recusou a realizá-lo - apesar de ser membro da Igreja Anglicana -, não pôde ser eleito para professor em Cambridge, tendo igualmente rejeitado seguir a carreira eclesiática, como era desejo da sua família.


Augustus De Morgan (1806 - 1871)


Em 1826 regressou a Londres, frequentando Lincoln's Inn de forma a preparar-se para exercer advocacia. Em 1827, com 21 anos, candidatou-se ao lugar de professor de Matemática na recém fundada Universidade de Londres, depois conhecida por University College, apesar de não ter publicado nada sobre a matéria. Recomendado por Peacock e Whewell, conseguiu o lugar, tornando-se, em 1818, o primeiro professor de Matemática da Universidade de Londres, intitulando-se a sua primeira lição On the study of Mathematics.

Defensor da tolerância religiosa e intelectual, em 1831 demitiu-se das suas funções devido à demissão sem explicações de um colega professor. Augustus De Morgan regressou ao lugar de professor cinco anos depois, devido à morte por afogamento do seu substituto, e aí permaneceu até 1866, resignando uma vez mais devido à falta de liberdade académica. Em 1830 publica o seu livro Elements of Arithmetic, que foi inúmeras vezes reeditado. Em 1837, desposou Sophia Elizabeth Frend, tendo sete filhos e, no ano seguinte, definiu e introduziu o termo indução matemática num artigo que escrevera para a Penny Ciclopedia - obra publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge -  onde escrevera 712 artigos. Foi também aquela associação quem publicou em fascículos a sua obra The Differencial and Integral Calculus (1836 - 1842). Em 1845 introduziu a notação do traço de fracção inclinado, em 1849 publicou Trigonometry and double algebra, onde apresentou uma interpretação geométrica dos números complexos.

Os trabalhos mais importantes de De Morgan são nas áreas das probabilidades e da lógica matemática. Na sua obra Formal Logic (1847), De Morgan acrescentou um novo princípio à lógica aristotélica. Nesta, as premissas "Alguns músicos são artistas" e "Alguns músicos são solteiros", não têm conclusão. A lógica aristotélica afirma que o termo "músicos" é utilizado universalmente e que "todos os músicos" deve ocorrer, porém De Morgan introduziu a forma "A maioria dos músicos são artistas" e "A maioria dos músicos são solteiros".

Além da sua teoria dos silogismos, De Morgan é mais conhecido pelas leis que têm o seu nome - Leis de Morgan: negar que se realizam em simultâneo dois acontecimentos, é afirmar que não se realiza pelo menos um deles e negar que se realiza pelo menos um de dois acontecimentos, é afirmar que não se realiza nem um nem outro. Simbolicamente, as leis são dadas por:

De Morgan foi autor de biografias de Newton e de Halley e publicou vários estudos sobre matemáticos e história das diferentes ideias matemáticas. De Morgan, que foi um excelente professor, acreditava na importância da História da Matemática para os seus alunos, para que estes compreendessem a evolução desta ciência. Correspondeu-se com Charles Babbage (1791 - 1871) e deu lições privadas a Lady Lovelace (1815 - 1852), que foi a autora do primeiro programa de computador para Babbage.

De Morgan nunca aceitou ser membro da Royal Society, alegando que a eleição dos seus membros era mais afectada por influências sociais do que por mérito científico, tendo também rejeitado um grau honorífico da Universidade de Edinburgh. Em 1866, foi um dos fundadores e primeiro presidente da Mathematical Society de Londres.

As mortes prematuras de dois dos seus filhos, afectaram a saúde de De Morgan, que veio a falecer de exaustão nervosa em sua casa, a 18 de Março de 1871.

Aqui, além de uma biografia, há uma lista das obras de De Morgan e uma série de ligações para se conhecer melhor este matemático.

Sólidos Platónicos

Há indícios de que os povos que viveram na Escócia no período Neolítico tenham esculpido alguns destes sólidos mil anos antes da sua referência por Platão (c. 428 a. C. – c. 347 a.C.). Este, ou os seus discípulos, foram os primeiros a demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares: o cubo, o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Foi o estudo intensivo destes sólidos pelos seguidores de Platão que os tornou conhecidos como «poliedros de Platão» ou «sólidos platónicos».

Modelos do Neolítico dos sólidos platónicos

Foram porém os pitagóricos, quem deram a conhecer o tetraedro, o cubo e o dodecaedro, atribuindo-se a Teeteto (415 a.C. – 368 a.C.), discípulo de Platão, a descoberta do octaedro e do icosaedro. Platão na sua obra Timeu explica os fenómenos do Universo através destes poliedros regulares, estabelecendo uma correspondência mística entre o tetraedro e o fogo, o cubo e a terra, o octaedro e o ar e o icosaedro e a água. O dodecaedro foi considerado como a forma que envolve a totalidade do Cosmos.

No século XVI, o astrónomo Johannes Kepler (1571 – 1630) tentou encontrar uma relação entre os cinco sólidos platónicos e os seis planetas que eram conhecidos na época: Mercúrio, Vénus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. Kepler pensou que os dois números estavam relacionados, isto é, que a razão pela qual existiam seis planetas era porque existiam apenas cinco sólidos regulares.

 Em 1596, na sua obra Mysterium Cosmographicum, Kepler estabeleceu um modelo do sistema solar onde os cinco sólidos platónicos eram colocados um dentro do outro, separados por uma série de esferas inscritas. Supôs que as razões entre os raios das órbitas dos planetas coincidiam com as razões entre os raios das esferas. Este modelo, todavia, não era sustentado pelos dados experimentais da época e foi desaprovado por inteiro pelas descobertas posteriores dos planetas Úrano e Neptuno. Contudo, desta pesquisa, nasceram a descoberta de novos sólidos (que hoje, têm o seu nome), a percepção de que as órbitas dos planetas não são círculos, mas elipses e as leis do movimento planetário.

 

Informações importantes

Para o ano lectivo 2010-2011, o GAVE disponibiliza as seguintes informações:

. Informação aos alunos, pais e encarregados de educação sobre o Projecto Testes Intermédios 2010-2011;
. Sobre os testes intermédios de Matemática de 3.º Ciclo;
. Sobre os testes intermédios de Matemática do Secundário.

Para quem quiser saber qual é o calendário escolar para este ano lectivo, aceda aqui.

O País da Matemática