Função exponencial e logaritmos

Aqui ficam dois clips onde se explica a função exponencial e o cálculo com logaritmos.

O Último Teorema de Fermat - 4.ª e 5.ª partes

Assim termina este excelente documentário sobre a demonstração do último teorema de Fermat.

Para saber mais sobre esta autêntica aventura, estão publicados alguns livros sobre este assunto: pela editora Gradiva e também pela editora brasileira Record.

O Último Teorema de Fermat - 3.ª parte

Terceira parte do documentário sobre a demonstração do teorema de Fermat.

O Último Teorema de Fermat - 2.ª parte

Continuação da "saga" que foi a demonstração do Teorema de Fermat.

O Último Teorema de Fermat - 1.ª parte

Inicio aqui a divulgação deste excelente documentário sobre a demonstração do último Teorema de Fermat, que afirma que se n é um número inteiro maior do que 2, então não existem números naturais, a, b e c, tais que se verifique a igualdade a^n + b^n = c^n, com a, b > 0.

Matemáticos ao longo da História

Muito interessante este filme. Podemos identificar vários matemáticos importantes para a História da Matemática, desde a Grécia Antiga com Tales de Mileto, Arquimedes, Hipátia de Alexandria, passando por Fibonacci, Fermat, Barrow, Euler, Gauss e terminando em Nash.

A conjectura de Goldbach

Christian Goldbach (1690 - 1764) estudou Leis e Medicina na Universidade de Konigsberg, adquirindo conhecimentos mais profundos de Matemática ao trocar correspondência com Leibniz, com os irmãos Bernouilli e com outros matemáticos importantes do início do século XVIII. Em 1725, Goldbach passou a trabalhar na Academia Imperial de Sampetersburgo, recebendo também cargos importantes na Corte e no governo imperial. Na Rússia conheceu Euler, com quem se passou a corresponder e é numa carta endereçada a este, datada de 7 de Junho de 1742, que enuncia que qualquer número inteiro maior do que seis parece ser a soma de três números primos.

Euler depressa verifica que este enunciado se pode separar em dois:
- Todo o número par, maior do que 2, é a soma de dois números primos;
- Todo o número ímpar é a soma de três números primos.

Esta última afirmação viria a ser provada nos anos 30 do século passado pelo matemático soviético Vinogradov, mas a primeira, conhecida por conjectura de Goldbach, ainda não foi demonstrada, embora possamos verificar a sua plausibilidade: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7; 12 = 5 + 7; ...

Vários matemáticos tentaram a sua demonstração: Cantor, Aubry, Haussner, Vinogradov. Com o auxílio de computadores já foi possível provar a veracidade da hipótese para números da ordem de 10 elevado a 14.

No clip acima podemos assistir a uma cena do filme espanhol de 2007,  La habitación de Fermat, realizada por Luis Piedrahita e por Rodrigo Sopeña. 

Critérios de divisibilidade

Por 2
Um número é divisível por 2 quando é par (o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6, 8).
Por exemplo são divisíveis por 2: 46, 188, 234…

Por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é 0, 3, 6 ou 9.
Por exemplo: 147 – 1 + 4 + 7 = 12 (pode somar-se novamente) e 1 + 2 = 3.
167 265 - 1 + 6 + 7 + 2 + 6 + 5 = 27 e 2 + 7 = 9 é divisível.
65 926 - 6 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28 e 2 + 8 = 10 não é divisível por 3.

Por 4
Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4.
Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, deve ser um número par e a sua metade continuar par.
Por exemplo: 758 836 - 36 é par e metade de 36 é 18 que é par, então o número é divisível por 4.
9 881 654 - 54 é par mas metade não é o número par, logo não é divisível por 4.

Por 5
Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

Por 6
Se um número for divisível por 2 e por 3 é divisível por 6.

Por 7
Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número. Se o resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7.
Por exemplo:
245 - 5 x 2 = 10 e depois 24 – 10 = 14 então é divisível por 7.

1589 - 9 x 2 = 18 e 158 – 18 = 140 então é divisível por 7 .
204 568 - 8 x 2 = 16 e 20456 – 16 = 20440 e aplicando novamente
0 x 2 = 0 2044 – 0 = 2044 e novamente
4 x 2 = 8 204 – 8 = 196 e novamente
6 x 2 = 12 19 – 12 = 7
então é divisível por 7.

Por 8
Se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8, então o número é divisível por 8. (Três últimos pares, a sua metade par e novamente metade par).
772 673 290 168 - 168 é par , 168 : 2 = 84 é par e 84 : 2 = 32 é par, então o número inicial é divisível por 8.

Por 9
Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove.
Por exemplo: 3 464 514 - 3 + 4 + 6 + 4 + 5 + 1 + 4 = 27 e 2 + 7 = 9, então é divisível por 9
4 524 562 - 4 + 5 + 2 + 4 + 5 + 6 + 2 = 28 e 2 + 8 = 10, então não é divisível por 9.

Por 10
Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades é zero.

Por 11
Soma-se o 1.º, o 3.º, o 5.º, o 7.º algarismo….
Soma-se o 2.º, o 4.º, o 6.º, o 8.º algarismo ….
Se a diferença for múltiplo de 11 (incluindo o zero), então o número é divisível por 11.
Por exemplo: 94 186 565 - 9 + 1 + 6 + 6 = 22
4 + 8 + 5 + 5 = 22 e 22 – 22 = 0, então o número é divisível por 11.
4 723 866 862 - 4 + 2 + 8 + 6 + 6 = 26
7 + 3 + 6 + 8 + 2 = 26 e 26 – 26 = 0, então o número é divisível por 11.
Por 12
Se o número for divisível por 3 e por 4 é divisível por 12.

Por 13
Multiplica-se o algarismo das unidades por 9 e subtrai-se do restante número. Se o resultado for múltiplo de 13 então o número inicial é múltiplo de 13.
Por exemplo:
1105 - 5 x 9 = 45 e 110 – 45 = 65 ( se ainda tiver dúvidas pode fazer novamente…. ) que é múltiplo de 13 - 13 x 5 = 65