Algoritmo da raiz quadrada

Com este filme podemos aprender a determinar a raiz quadrada de um número inteiro positivo, através do seu algoritmo. Para esquecer por momentos a máquina de calcular e para "treinar" o cálculo com lápis e papel.

História dos números

Pequeno filme que narra a evolução do conceito de número, desde a pré-história até aos nossos dias.

Algumas técnicas de cálculo

- Para somar um número por 9, 99, 999, etc. basta somar 10, 100, 1000, respectivamente e subtrair 1.

Por exemplo: 184 + 9 = (184 + 10) – 1 = 194 – 1 = 193

- Para somar três números consecutivos, basta multiplicar a segunda parcela por 3.

Por exemplo: 277 +278 + 279 = 3 x 278 = 834

- Para multiplicar um número por 5, basta dividi-lo por 2 e multiplicar o resultado por 10.

Por exemplo: 28 x 5 = (28 : 2) x 10 = 14 x 10 = 140

- Para multiplicar um número por 25, basta dividi-lo por 4 e multiplicar o resultado por 100.

Por exemplo: 48 x 25 = (48 : 4) x 100 = 12 x 100 = 1200


Multiplicação de dois números entre 10 e 20

- Para multiplicar dois números entre 10 e 20, basta somar a unidade do segundo número ao primeiro, multiplicar por 10 e em seguida adicionar o produto das unidades.

Por exemplo: 14 x 19 = (14 + 9) x 10 + 4 x 9 = 230 + 36 = 266


Multiplicação de dois números entre 100 e 110

- Para multiplicar dois números entre 100 e 110, soma-se o primeiro com as unidades do segundo, multiplica-se o resultado por 100 e em seguida adiciona-se o produto das unidades.

Por exemplo: 107 x 102 = (107 + 2) x 100 + 7 x 2 = 10 900 + 14 = 10 914


Multiplicação de um número por 11

- Para multiplicar um número por 11, basta adicionar o número com 10 vezes o seu valor.

Por exemplo: 18 x 11 = 180 + 18 = 198


Quadrado de um número terminado em 5

- Para elevar ao quadrado um número com dois algarismos que termine em cinco, multiplica-se o primeiro algarismo por si mesmo adicionado a 1 e coloca-se 25 no final.

Por exemplo: 35^2 = 3 x (3 + 1) = 9 + 3 = 12 – junta-se 25. Resultado: 35^2 = 1225


Adição de números em sequência

- Qual o resultado de: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10?
Basta dividir o número maior por 2 e multiplicá-lo pela soma dos números extremos.

Por exemplo: (10 : 2) x (10 + 1) = 5 x 11 = 55

A História do Zero

Há duas utilizações distintas para o zero, sendo ambas extremamente importantes: a primeira é como indicação de lugar vazio no sistema numérico de valor por posição (por exemplo, num número como 3509, o zero é usado para que as posições do 3 e do 5 sejam as correctas); a segunda utilização do zero é como um número em si mesmo, no modo como o usamos como 0. Outros aspectos diferentes do zero nestas duas utilizações é o seu conceito, a sua notação e o seu nome, que deriva do árabe sifr, que também deu origem à palavra "cifra".

Podemos pensar que logo que surge um sistema numérico de valor posicional, então o 0, como indicação de posição vazia, é uma ideia necessária, embora os babilónios, que usaram um sistema numérico de valor posicional, nunca tenham utilizado esta característica durante mil anos. Os babilónios escreviam em tábuas de argila usando escrita cuneiforme, que sobreviveram até hoje, tendo origem cerca do ano 1700 a.C., em que podemos verificar a utilização de um sistema de base 60.

Tábua com escrita cuneiforme

Numa tábua encontrada em Kish, no Iraque de hoje, o "autor" usou três "ganchos" para assinalar um espaço vazio na notação posicional. Outras tábuas, com idades próximas, usam apenas um "gancho" para o lugar vazio, nunca aparecendo no final do número, mas entre os algarismos. Assim, o nosso 3509 seria escrito como 35"9, não aparecendo nunca 359". Provavelmente o contexto em que se anotavam tais números seria suficiente para os distinguir.

Os gregos iniciaram as suas contribuições para a Matemática na época em que o zero como indicador da posição vazia num número começava a ser usada pelos babilónios, embora aqueles não tenham adoptado um sistema numérico de posição, uma vez que os gregos se baseavam fundamentalmente na Geometria. Mesmo Euclides (360-295 a.C.), nos seus Elementos, embora com uma parte sobre Teoria dos Números (livros VII a IX), se baseia na Geometria. Os astrónomos gregos tinham necessidade de usar o zero nos seus registos de dados astronómicos, encontrando-se aqui a primeira utilização do símbolo que podemos reconhecer como zero, o O, provavelmente com origem na primeira letra da palavra grega para "nada" ("ouden"), o ómicron. Investigações recentes parecem desmentir tal origem, uma vez que os gregos usavam o ómicron para representar o número 70 (o sistema numérico dos gregos era baseado no seu alfabeto). Outra explicação para a utilização de O será a existência de uma moeda de pequeno valor, o "obol".

Sistema numérico grego, baseado no alfabeto

Cláudio Ptolomeu (90 - 68), no Almagesto, escrito cerca do ano 130 da nossa Era, usou o sistema sexagesimal babilónico juntamente com o parâmetro O como vazio. Ptolomeu usava este símbolo quer entre dígitos, quer no final do número, o que nos levaria a pensar que o zero como significado de vazio se estabelecia firmemente - o que está longe da realidade.

É na Índia, local onde nasceram os números e os sistemas numéricos, os quais evoluíram para os sistemas sofisticados que hoje utilizamos, que surge o conceito matemático de zero, por volta do ano 650 d.C., uma vez que os hindus utilizavam um sistema de valor por posição e o zero era usado para notar um lugar vazio. De facto, há evidências de um parâmetro de lugar vazio em números posicionais desde 200 d.C. na Índia, porém vários historiadores julgam-nas falsificações posteriores.

Cerca do ano 500, Aryabhata (476 - 550) concebeu um sistema numérico de posição que ainda não tinha o zero. Usou a palavra "kha" para a posição, que seria mais tarde usada como denominação para o zero. Matemáticos hindus posteriores, nomearam o zero em números posicionais, ainda que não tivessem um símbolo para o representar, sendo o primeiro registo da sua utilização no ano 876, na cidade de Gwalior, a sul de Deli, onde se construíram uns jardins de 187 por 270, o qual podia produzir um número suficiente de flores para permitir que se oferecessem 50 grinaldas por dia ao templo local. Tanto 270 e como 50 estão escritos quase como hoje o fazemos, ainda que o 0 seja mais pequeno e ligeiramente elevado.

Evolução da notação numérica hindu

Pode considerar-se assim a primeira aparição do zero como número. A ideia de número torna-se cada vez mais abstracta, sendo então possível considerar o zero e os números negativos, os quais não surgiram como propriedades das colecções de objectos. O problema coloca-se quando se tenta considerar o zero e os números negativos na interacção nas operações aritméticas. Os matemáticos Brahmagupta (589 - 668), Mahavira e Bhaskara (1114 - c. 1193), tentaram dar uma resposta a estas questões.

Brahmagupta estabeleceu as regras para a aritmética, tendo em conta o zero e os números negativos, no século VII, afirmando que, dado um número, se subtrai a si mesmo obtém-se o zero. Deu também as regras para a soma que implicavam o zero: a soma de zero com um número negativo, é um número negativo; a soma de um número positivo com zero é um número positivo e a soma de zero com zero é zero. A subtracção é um pouco mais complexa: um número negativo subtraído de zero é um número positivo; um número positivo subtraído de zero é um número negativo; o zero subtraído de um número negativo é um número negativo; o zero subtraído de um número positivo é um número positivo e o zero subtraído do zero é zero.

Brahmagupta afirmou também que qualquer número multiplicado por zero é zero, mas demonstra algumas dificuldades com a divisão: um número positivo ou negativo quando é dividido por zero, é uma fracção com o zero como denominador. O zero dividido por um número positivo ou negativo, é o zero, ou expresso como fracção o zero como numerador e uma quantidade finita como denominador. O zero dividido por zero é zero. Na verdade, Brahmagupta diz muito pouco quando sugere que n dividido por 0 é n/0 e certamente se engana quando diz que zero dividido por zero é zero, no entanto, é uma brilhante tentativa por parte da primeira pessoa que tentou estender a aritmética aos números negativos e ao zero.

No ano 830, Mahavira escreveu Ganita Sara Samgraha, que foi uma actualização da obra de Brahmagupta, onde afirma correctamente que um número multiplicado por zero é zero e um número permanece igual a si se se lhe subtrai zero. Porém as suas tentativas de melhorar as afirmações de Brahmagupta sobre a divisão por zero não surtem efeito, uma vez que escreve que que um número permanece inalterado quando é dividido por zero, o que está incorrecto.

Bhaskara, uns 500 anos depois de Brahmagupta, escreveu a sua obra, mas continua com problemas para corrigir os seu antecessor quanto à divisão por zero: uma quantidade dividida por zero, converte-se numa fracção cujo denominador é igual a zero. esta fracção tem como valor uma quantidade infinita.

O zero entrava, assim, definitivamente, na História da Matemática.

Fontes:
Struik, Dirk; História Concisa das Matemáticas, Lisboa, Gradiva, 1992
Boyer, Carl; História da Matemática; São Paulo, Editora Blucher, 1981
Boll, Marcel; As Etapas da Matemática, Lisboa, Publicações Europa-América, s.d.
Contador, Paulo R. M.; Matemática - Uma Breve História, São Paulo, Editora Livraria da Física, 2008
Garbi, Gilberto G.; A Rainha das Ciências - Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática, São Paulo, Editora Livraria da Física, 2009
Três noções numéricas básicas: número, numeral e algarismo
Wikipedia

A Matemática de Escher

Neste filme podemos observar a arte de Escher, onde a utilização das simetrias, dos padrões, das translações e da ideia de infinito está presente.

A sequência de Fibonacci - presença maravilhosa na Natureza

Triângulo de Pascal e binómio de Newton

Para compreender o funcionamento do triângulo de Pascal e do binómio de Newton: