Isto é Matemática - Episódio 11 (5.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 12 (5.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 10 (5.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 9 (5.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 8 (5.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 7 (5.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 6 (5.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 5 (5.ª temporada)

«Proving Pi is Irrational: a step-by-step guide to a “simple proof” requiring only high school calculus»

Demonstração simples da irracionalidade do número Pi. Ler aqui.

Isto é Matemática - Episódio 4 (5.ª temporada)

«A Matemática não tem de ser, sangue, suor e lágrimas»

Jorge Nuno Silva é especialista em jogos matemáticos. Criou a Associação Ludus, uma referência a nível nacional, e, volta e meia, sobe ao palco do Circo Matemático, vestindo as suas calças cor-de-laranja. Aos 57 anos de idade, o professor da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa quer acabar com a ideia de que a Matemática é um sacrifício. Pelo contrário, diz, “a Matemática é a melhor das iguarias intelectuais”.

The Myth of 'I'm Bad at Math'

Basic ability in the subject isn't the product of good genes, but hard work.

Isto é Matemática - Episódio 3 (5.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 1 (5.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 2 (5.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 13 (4.ª temporada)

"Pequeno génio da Matemática com 10 anos vai frequentar a Universidade de Zurique"

Uma criança suíça de 10 anos, Maximilian Janisch, que concluiu as provas de um bacharelato em matemática com a nota máxima, vai frequentar um curso especial na Universidade de Zurique, divulgou hoje a instituição de ensino. De acordo com a universidade, a criança, reconhecida como um pequeno génio da matemática, terá um acompanhamento personalizado, que irá incluir reuniões, de duas em duas semanas, com um professor para analisar questões relacionadas com o curso.

Isto é Matemática - Episódio 12 (4.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 11 (4.ª temporada)

"How to Fall in Love With Math"

As a mathematician, I can attest that my field is really about ideas above anything else. Ideas that inform our existence, that permeate our universe and beyond, that can surprise and enthrall. Perhaps the most intriguing of these is the way infinity is harnessed to deal with the finite, in everything from fractals to calculus. Just reflect on the infinite range of decimal numbers — a wonder product offered by mathematics to satisfy any measurement need, down to an arbitrary number of digits. 

Despite what most people suppose, many profound mathematical ideas don’t require advanced skills to appreciate. One can develop a fairly good understanding of the power and elegance of calculus, say, without actually being able to use it to solve scientific or engineering problems. 

Think of it this way: you can appreciate art without acquiring the ability to paint, or enjoy a symphony without being able to read music. Math also deserves to be enjoyed for its own sake, without being constantly subjected to the question, “When will I use this?”

Isto é Matemática - Episódio 10 (4.º temporada)

Isto é Matemática - Episódio 9 (4.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 8 (4.ª temporada)

o Romance do Ponto e da Linha

Foi resolvida a conjectura de Gian-Carlo Rota

Esta semana se ha anunciado en diferentes medios de comunicación que los investigadores Jim Geelen (University of Waterloo, Canadá), Bert Gerards (Centrum Wiskunde & Informatica, Países Bajos) y Geoff Whittle (Victoria University, Wellington, Nueva Zelanda) habían demostrado la conjetura de Gian-Carlo Rota, tras 15 años de intenso trabajo.

Isto é Matemática - Episódio 7 (4.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 6 (4.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 5 (4.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 4 (4.ª temporada)

"Mathematician’s trick: I will catch you with my psychic rooster"

John Napier is most famous for inventing logarithms in the early 1600s, which greatly simplified calculations. 
But this post is about a lesser known rumored story about Napier.

Once, Napier suspected one of his servants was stealing kitchen utensils from him. But how to prove it, and how to figure out which one was pilfering from him?

Napier devised a scheme that would out the guilty party.

Isto é Matemática - Episódio 3 (4.ª temporada)

"Paris e os Novos Matemáticos" - Gaspard Monge (1746 - 1818)

Isto é Matemática - Episódio 2 (4.ª temporada)

Resolvida uma conjectura de Erdos sobre congruências

"Muy buen año para la teoría de números este 2013. Después de la demostración de la conjetura débil de Goldbach y la cota del hueco entre primos gemelos ha caído la que podríamos llamar conjetura del recubrimiento por congruencias, planteada por Paul Erdös en 1950. Pero en este caso no se ha comprobado que es cierta, sino que es falsa. Y el artífice de esta refutación es Bob Hough. Vamos a explicar un poco de qué va este problema, que, por cierto, era una de las conjeturas no resueltas de Erdös que más le gustaban, y por cuya resolución ofreció 1000$".

Qual é a origem da Matemática?

Four scientists debate ideas on whether math is an inherent part of our reality, or merely something our brains use to cope with and explain our environment.

Isto é Matemática - Episódio 1 (4.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 12, 2.ª parte (3.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 12, 1.ª parte (3.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 11 (3.ª temporada)

A Matemática na Natureza

«Modelos matemáticos usados por uma equipa de cientistas do Centro John Innes, em Norwich (Reino Unido), provaram que a quantidade de amido consumido pelas plantas de noite é calculada com precisão através de operações de matemática.

(...) Enquanto os mecanismos do interior das folhas medem a quantidade de amido armazenado, a informação sobre o tempo tem origem num relógio interno semelhante ao relógio interno do corpo humano.

(...) "É o primeiro exemplo concreto na biologia de tal cálculo aritmético sofisticado", afirmou à BBC o matemático Martin Howard, um dos membros da equipa.

"Estas experiências não provam que as plantas têm inteligência, mas sugerem antes que as plantas têm um mecanismo concebido para regular automaticamente o ritmo a que queimam os hidratos de carbono de noite", avisa Richard Buggs.

O investigador da Universidade de Londres acrescenta que "as plantas não fazem operações matemáticas de forma voluntária e com um objetivo em mente como nós, humanos, fazemos".

Aliás, os cientistas dizem que os pássaros usam métodos matemáticos semelhantes para conservar os seus níveis de gordura durante as migrações.»

Ler aqui.

A Conjectura de Goldbach

«Todo o número par maior que dois pode escrever-se como soma de dois números primos.»

A Matemática é difícil - provas fotográficas

Ver aqui.

Donald no País da Matemática

Isto é Matemática - Episódio 10 (3.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 9 (3.ª temporada)

Um milhão de dólares de recompensa

Um banqueiro do Texas oferece uma recompensa de um milhão de dólares a quem conseguir resolver a conjetura de Beal, um problema matemático que continua sem solução desde os anos 1990.

Beal's conjecture

Zero Factorial

Isto é Matemática - Episódio 8 (3.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 7 (3.ª temporada)

O Gato de Schrodinger

"Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap"

«On April 17, a paper arrived in the inbox of Annals of Mathematics, one of the discipline’s preeminent journals. Written by a mathematician virtually unknown to the experts in his field — a 50-something lecturer at the University of New Hampshire named Yitang Zhang — the paper claimed to have taken a huge step forward in understanding one of mathematics’ oldest problems, the twin primes conjecture.»

Ler na íntegra aqui.

Isto é Matemática - Episódio 6 (3.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 5 (3.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 4 (3.ª temporada)

Aniversário de Carl Friedrich Gauss, o Príncipe dos Matemáticos

Carl Friedrich Gauss

Matemático, astrónomo e físico alemão, criador da geometria diferencial, conhecido como o "Príncipe dos Matemáticos", a ele se devem importantíssimos estudos de matemática, física, geometria e astronomia. Entre outras coisas, desenhou o heptadecágono, inventou o telégrafo e definiu o conceito de números complexos.

Karl Friedrich Gauss nasceu a 30 de Abril de 1777 em Brunswick, Alemanha. Filho de uma família humilde, desde muito cedo foi visto como uma criança prodígio. Aprendeu a ler e a somar sozinho. Aos três anos corrigiu um erro do pai quando este calculava os salários dos operários. 

Quando estudava na escola primária, o professor pediu aos alunos que tentassem resolver a soma de todos os números compreendidos entre 1 e 100. O professor pensou que assim iria manter os alunos ocupados durante um bom tempo mas, para seu espanto, em poucos mimutos Gauss resolveu o problema. 

Gauss conseguiu chegar ao resultado correcto porque reparou que somando todos os pares 1+100; 2+99; 3+98; …50+51 somavam sempre 101 então, a soma de todos os pares seria 50x101=5050 . Desta forma encontrou, sem saber, a propriedade da simetria das progressões aritméticas. 

 A fama de Gauss chegou aos ouvidos do Duque de Brunswick, o qual lhe facilitou recursos económicos para que Gauss continuasse os seus estudos, pois era um desperdício este jovem rapaz não continuar a estudar. Em 1795 frequentou a Universidade de Göttingen. Em 1796 descobriu o método de desenhar com régua e compasso o heptadecágono, polígono com 17 lados, que desde o tempo dos gregos os geometras tentavam desenhar. Publicou Disquisitiones Arithmeticae em 1801, que é um dos livros de matemática mais importante da história da matemática, no qual reúne as ideias que desenvolveu desde os 17 anos de idade. Entre elas está a demonstração matemática de que é possível desenhar alguns polígonos regulares utilizando apenas esquadros e compasso, mas não qualquer polígono. Ainda nesta obra Gauss apresenta a lei de reciprocidade quadrática, classificada por ele, como a "jóia da aritmética" e demonstrado o teorema segundo o qual todo inteiro positivo pode ser representado de uma só maneira como produto de primos. 

No começo do século XIX abandonou a aritmética para se dedicar á astronomia, criando um método para acompanhar a órbita dos satélites, usado até hoje. 

 Obteve o doutoramento na Universidade de Helmstädt, tendo começado em 1807 a leccionou como professor de astronomia (apesar de detestar dar aulas) e director do Observatório de Göttingen, durante 40 anos. 

 Desenvolveu o método dos mínimos quadrados em 1812 que, aplicado na resolução das distribuições de probabilidade nos campos da mecânica, estatística e economia, e na abordagem da forma das superfícies curvas mediante expressões matemáticas, permitiu-lhe determinar pela primeira vez o tamanho e forma aproximados da Terra. Em 1833 com a ajuda de Weber construiu o primeiro telégrafo o qual só foi usado entre a sua casa e o observatório de Göttingen. 

 No campo da Estatística, Gauss é famoso pela descoberta da distribuição normal, também conhecida pela distribuição Gaussiana, que trata da distribuição de certos valores ao longo de uma curva em forma de sino (contribuição extremamente valiosa no campo da estatística). 

 Gauss foi nomeado membro da Royal Society em 1804 e recebeu Medalha de Copley em 1838. Publicou várias obras entre as quais Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium em 1809; Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi em 1816; Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae em 1823. 

 Casou aos 23 anos, com Johanna Osthoff, que faleceu ao dar à luz o seu terceiro filho. Casou novamente em 1810, tendo tido mais três filhos, um rapaz e duas raparigas. A sua segunda esposa faleceu em 1831. 

 A 23 de Fevereiro de 1855, aos 78 anos de idade, Gauss morre durante o sono, vítima de uma doença prolongada. Deixou-nos como recordação o seu trabalho imenso que viverá para sempre na matemática, fruto do mais extraordinário espírito matemático de todos os tempos

Outras biografias:
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) - “El príncipe de los matemáticos”
Carl Friedrich Gauss: el príncipe de las matemáticas
Carl Friedrich Gauss
Johann Carl Friedrich Gauss

Obras de e sobre Gauss.

Demonstrando o Teorema de Pitágoras

Isto é Matemática - Episódio 3 (3.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 2 (3.ª temporada)

"Ants 'Use Math' to Find Fastest Route"

«Just as light does, ants traveling through different materials follow the fastest path, not the shortest one.

A recent study found that when fire ants (Wasmannia auropunctata) crossed different surfaces, the insects chose the route that would minimize their total walking time, rather than the distance traveled. The ants' behavior offers a window into how groups of social insects self-organize, the scientists say.»

Ler na íntegra aqui.

Isto é Matemática - Episódio 1 (3.ª temporada)

Aniversário de Leonhard Euler

Leonhard Euler, nasceu a 15 de Abril de 1707, e morreu em 18 de Setembro de 1783. Foi o matemático mais prolífico da história. Os seus 866 livros e artigos representam aproximadamente um terço do corpo inteiro de pesquisa em matemática, teorias físicas e engenharia mecânica publicadas entre 1726 e 1800. Em Matemática Pura, Euler integrou o Cálculo Diferencial de Leibniz e o método de Newton em Análise Matemática; aperfeiçoou a noção de função; criou muitas notações matemáticas comuns, incluindo o e, i, o símbolo do pi e o símbolo do sigma e propôs a fundação para a Teoria das Funções Especiais, introduzindo as funções transcedentais beta e gamma.

Euler também trabalhou nas origens do Cálculo de Variações, mas reteve o seu trabalho em deferência para com Lagrange. Euler foi pioneiro no campo da Topologia e fez da Teoria dos Números uma ciência, declarando o Teorema dos Número Primos e a Lei da Reciprocidade Biquadrática. Em Física, articulou a Dinâmica newtoniana e colocou a fundação da Mecânica Analítica, especialmente na sua Teoria dos Movimentos de Corpos Rígidos (1765). Com o seu professor Johann Bernoulli, elaborou a Mecânica Contínua, mas também trabalhou com a Teoria Cinética dos gases e com o modelo molecular. Com Alexis Clairaut estudou a teoria lunar. Euler também fez pesquisa fundamental em elasticidade, acústica, a Teoria Ondulatória da Luz e a Hidromecânica de navios.

Euler nasceu em Basel, Suíça. O seu pai, um pastor, queria que o filho seguisse os passos dele e enviou-o para a Universidade de Basileia para prepará-lo para o ministério, mas geometria tornou-se logo o seu assunto favorito. Pela intercessão de Bernoulli, Euler obteve o consentimento de seu pai para mudar para o curso de Matemática. Depois de não ter conseguido uma posição de físico em Basileia, em 1726, Euler foi para a Academia de Ciências de Sampetersburgo, em 1727. Tornou-se o professor de Física na Academia em 1730 e professor de Matemática em 1733. Quando casou deixou a casa de Bernoulli. A reputação dele cresceu depois da publicação de muitos artigos e o seu livro "Mechanica" (1736-37), que apresentou extensivamente pela primeira vez dinâmica newtoniana na forma de Análise Matemática.

Em 1741, Euler foi para a Academia de Ciências de Berlim, onde permaneceu durante 25 anos. Em 1744, tornou-se o director da secção de Matemática da Academia. Durante a sua permanência em Berlim, escreveu mais de 200 artigos, três livros de Análise Matemática e uma obra de divulgação científica, "Cartas para Princesa de Alemanha" (3 volumes, 1768-72). Em 1755, foi eleito membro estrangeiro da Academia de Ciências de Paris, tendo recebido, durante a sua carreira, 12 desses prémios bienais prestigiosos.

Em 1766, Euler voltou à Rússia, depois de Catarina, a Grande lhe ter feito uma oferta generosa. Na época, Euler estava de más relações com Frederico, o Grande devido ao tema da liberdade académica e outros assuntos. Frederico ficou enfurecido aquando da partida de Euler e convidou Lagrange para substitui-lo. Na Rússia, Euler ficou quase completamente cego depois de uma operação às cataratas, mas pôde continuar com a sua pesquisa e com as suas obras. Euler teve uma memória prodigiosa e pôde ditar tratados de óptica, álgebra e movimento lunar. Quando morreu, em 1783, deixou uma reserva vasta de artigos. A Academia de Sampetersburgo continuou a publicá-los durante os 50 anos seguintes.

Adaptado.

No clip a seguir, o professor William Dunham dá uma interessante palestra de tributo a Euler.

«Chegará o dia em que poderemos compreender o Universo como um grande sudoku e entenderemos todos esses números que o formam»

¿Cree que las matemáticas nos permitirán entender el Universo algún día como si fuera un gran sudoku?

Soy un optimista. Sí, llegará un día en que podremos comprender el Universo como un gran sudoku y entenderemos todos esos números que lo forman. El Universo es lógico, con orden y con modelos, que a veces son misteriosos, pero con la física y las matemáticas se van a encontrar soluciones que expliquen su funcionamiento. En mi opinión, adivinar el futuro del Universo incluso puede ser más fácil que conocer su origen.

Ler na íntegra aqui.

"17 equações que mudaram o Mundo"

 Ler aqui.

Isto é Matemática - Episódio 12, 2.ª parte (2.ª temporada)

Paradoxo de Zenão

Paradoxo das bolas de ténis

Isto é Matemática - Episódio 12, 1.ª parte (2.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 11 (2.ª temporada)

Paradoxo do Grande Hotel

Prémio Abel 2013

«The Norwegian Academy of Science and Letters has decided to award the Abel Prize for 2013 to Pierre Deligne, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey, USA. He receives the Abel Prize “for seminal contributions to algebraic geometry and for their transformative impact on number theory, representation theory, and related fields”, to quote the Abel committee.»

Ler na íntegra aqui.

Como calcular uma raiz quadrada

Ver aqui.

Isto é Matemática - Episódio 10 (2.ª temporada)

Como celebrar o Dia do Pi

«Pi is a mathematical constant that is the ratio of a circle's circumference to its diameter, and it is also one of the most revered mathematical constants in the known world. Pi Day was first officially celebrated on a large scale in 1988 at the San Francisco Exploratorium. Since then, Pi Day has been celebrated by millions of students and math-lovers. The holiday is celebrated on 3/14, since 3, 1, and 4 are the three most significant digits in the decimal form of pi. If you'd like to learn how to celebrate pi in due fashion, read on and it will be as easy as pi.»

Ler na íntegra aqui.

Isto é Matemática - Episódio 9 (2.ª temporada)

"There’s more to mathematics than rigour and proofs"

«One can roughly divide mathematical education into three stages:

1- The “pre-rigorous” stage, in which mathematics is taught in an informal, intuitive manner, based on examples, fuzzy notions, and hand-waving. (For instance, calculus is usually first introduced in terms of slopes, areas, rates of change, and so forth.) The emphasis is more on computation than on theory. This stage generally lasts until the early undergraduate years.

2- The “rigorous” stage, in which one is now taught that in order to do maths “properly”, one needs to work and think in a much more precise and formal manner (e.g. re-doing calculus by using epsilons and deltas all over the place). The emphasis is now primarily on theory; and one is expected to be able to comfortably manipulate abstract mathematical objects without focusing too much on what such objects actually “mean”. This stage usually occupies the later undergraduate and early graduate years.

3- The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.»

Ler na íntegra aqui.

Ano Internacional da Matemática do Planeta Terra

«A matemática rodeia-nos. Há matemática no crescimento das células, que, partir de certo tamanho, são obrigadas a dividir-se. Há matemática na rua, nas calçadas portuguesas, mas ela também cresce para outras escalas: económicas, planetárias, cósmicas. Ajuda a calcular a trajectória de asteróides, a construir modelos climáticos, a antecipar problemas económicos. É por tudo isso que se pretende uma maior ligação entre esta disciplina e o mundo no Ano Internacional da Matemática do Planeta Terra 2013 (MPT2013), que é lançado esta terça-feira às 19h no Pavilhão do Conhecimento, em Lisboa.»

Isto é Matemática - Episódio 8 (2.ª temporada)

Möbius

Isto é Matemática - Episódio 7 (2.ª temporada)

O que faz um matemático?

Picado daqui.

540.º aniversário de Nicolau Copérnico

Para saber mais sobre Nicolau Copérnico:

Biografia

"Copérnico: a Terra  em seu devido lugar"

"Copernican System"

Bibliografia

Isto é Matemática - Episódio 6 (2.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 5 (2.ª temporada)

Diagonal de um Rectângulo e Teorema de Pitágoras

Foi encontrado um erro na resolução do problema do sub-espaço invariante

Ler aqui.

Isto é Matemática - Episódio 4 (2.ª temporada)

Isto é Matemática - Episódio 3 (2.ª temporada)

Resolução do problema do sub-espaço invariante

«La matemática española Eva Gallardo y el matemático estadounidense Carl Cowen anunciaron en la mañana de ayer, viernes 25 de enero, la resolución del problema del subespacio invariante en espacios de Hilbert. Este anuncio se ha producido como parte del Congreso RSME2013, congreso bienal de la RSME celebrado en Santiago de Compostela del 21 al 25 de enero.

El problema del subespacio invariante es un conocido e importante problema de Análisis Funcional y Teoría de Operadores cuyo enunciado es el siguiente:

 "¿Es cierto que todo operador lineal y continuo en un espacio de Hilbert complejo (de dimensión mayor que 1) deja invariante algún subespacio cerrado no trivial?"»

Ler na íntegra aqui.

Mais leituras (além das sugeridas no link acima): "Matemáticos resolvem um dos grandes problemas do século XX"

O Paradoxo da Amizade

«It’s a mathematical fact. Your friends are probably more popular than you are.

Don’t believe it? Consider this: the average Facebook user has 245 friends, but the average friend on Facebook has 359 friends, according to a 2011 Pew survey.

That’s right. The average person on Facebook has fewer friends than their friends do.

But how can that be? It definitely seems weird, and that’s why this phenomenon is known as “friendship paradox,” described in a 1991 paper by Scott L. Feld amusingly titled “Why Your Friends Have More Friends Than You Do.”

It turns out the paradox is not so mysterious, however, when you take a closer look at the math. Below I will give an example of the friendship paradox and then go through the math of why it happens.»

Ler na íntegra aqui.

Isto é Matemática - Episódio 2, 2.ª parte (2.ª temporada)

Uma curiosa demonstração do Teorema de Pitágoras

Isto é Matemática - Episódio 1 (2.ª temporada)

Alan Turing

«Alan Mathison Turing ha sido uno de los matemáticos más excepcionales del siglo XX. Sin embargo, el éxito de la aplicación de sus resultados a las ciencias de la computación ha sido tan grande que ha opacado el valor de sus matemáticas. A esto se añade que su trabajo en la descodificación de los códigos de las máquinas Enigma en la Segunda Guerra Mundial ha sido valorado relativamente tarde, y todavía depara sorpresas matemáticas a medida que los materiales secretos del ejército británico van siendo desclasificados.»

Ler na íntegra aqui.

Porque ficamos com os dedos enrugados na água?

«Investigadores de la Universidad de Newcastle han indagado sobre el asunto y han llegado a la conclusión de que este efecto tiene una explicación que tiene que ver con nuestra propia evolución. Los dedos arrugados mejoran nuestro agarre de objetos mojados o que se encuentran bajo el agua, de la misma forma que un neumático con surcos se aferra mejor a la carretera. Es probable que esta capacidad les viniera estupendamente a nuestros antepasados dedicados a recolectar frutos en entornos húmedos.»

Ler na íntegra aqui.

"Disputed Themes in Mathematics, 2012"

«Mathematics is ‘easy’ and agreeable for some people, but it is ‘hard’ or even incomprehensible for others; it deals with discrete objects (numbers, points, lines, sets) but also with the notion of continuum; it deals with finitude but also with the infinite; with certainty but also with uncertainty, probability, and chance; with the most general ideas but also with particular cases… and on, and on …»

Ler na íntegra aqui.

Isto é Matemática - Episódio 13

Isto é Matemática - Episódio 12