O que é então uma pavimentação? Uma pavimentação do plano é um conjunto de ladrilhos que cobrem o plano sem deixar espaços intermédios nem sobreposições.
As pavimentações podem classificar-se em vários tipos:pavimentações puras ou monoédricas, regulares e semi-regulares ou arquimedianas, demiregulares, periódicas e aperiódicas.
As primeiras - as pavimentações puras - são formadas por um único ladrilho.
As pavimentações regulares, são pavimentações em que os ladrilhos são polígonos regulares congruentes, isto é, têm o mesmo tamanho e forma. Só é possível quando se usam triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos. Porquê?
Sabemos que o ângulo interno de um polígono com n lados mede pi - 2pi/n radianos. Se em torno de cada vértice da pavimentação há N polígonos iguais, então N(pi - 2pi/n) = 2pi, que é o mesmo que
N(1 - 2/n) = 2, simplificando. As soluções desta equação serão para n = 3 então N = 6; para n = 4 então N = 4 e para n = 6 então N = 3, o que será, respectivamente, seis triângulos equiláteros, quatro quadrados e três hexágonos regulares. As pavimetações seguintes ilustram exemplos de pavimentações regulares:
As pavimentações semi-regulares ou arquimedianas são aquelas em que os ladrilhos são polígonos regulares de dois ou mais tipos diferentes, em que os vértices da pavimentação são todos do mesmo tipo. Se uma pavimentação é semi-regular, então os seus vértices podem ser de 21 tipos diferentes (pode vê-los aqui). Assim, apenas com 11 dos 21 tipos diferentes de vértices, é possível construir uma pavimentação. Das 11 possíveis, três são as pavimentações regulares já referidas, as oito restantes são arquimedianas, que se podem observar a seguir:
As pavimentações demiregulares, são constituídas por mais de um tipo de polígonos regulares e por mais de um tipo de vértices.
As pavimentações periódicas são pavimentações que, ao sofrer uma translação, é possível deslocá-la sobre si mesma, continuando os ladrilhos alinhados.
As pavimentações aperiódicas são pavimentações onde não se repete um padrão, embora seja possível existir a cobertura total do plano, sem espaços intermédios nem sobreposições.
Os primeiros registos com tratamento matemático que existem sobre a teoria das pavimentações devem-se a Johannes Kepler (1571 - 1630). No seu livro Harmonices Mundi (1619), Kepler apresenta uma classificação das pavimentações obtidas a partir dos trabalhos de Platão (c.428 - c. 348 a.C.) e de Arquimedes (287 - 212 a.C.) sobre poliedros. As pavimentações arquimedianas surgem assim por analogia com os poliedros platónicos e arquimedianos. São conhecidos os trabalhos de Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) que utilizou as pavimentações nas suas obras.
Fontes:
Gomes, Francelino; Lima, Yolanda e Viegas, Cristina, XeqMat 10.º ano vol.1, Editorial O Livro
Castro, Rosiene de Fátima, Pavimentações no plano euclidiano, Belo Horizonte, 2008
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