Diagonal de um Rectângulo e Teorema de Pitágoras

A Geometria Não Euclidiana*

*Homenagem aos 220 anos do nascimento de Nikolai Lobatchevski (1792 - 1856)

Outra biografia de N. Lobatchevski - aqui.

O legado de Pitágoras

A Matemática de Escher

Neste filme podemos observar a arte de Escher, onde a utilização das simetrias, dos padrões, das translações e da ideia de infinito está presente.

Pavimentações

Se observarmos com atenção os favos de mel, as calçadas, os azulejos aplicados nas nossas cozinhas e casas de banho, verificamos que se tratam de pavimentações.

O que é então uma pavimentação? Uma pavimentação do plano é um conjunto de ladrilhos que cobrem o plano sem deixar espaços intermédios nem sobreposições.

As pavimentações podem classificar-se em vários tipos:pavimentações puras ou monoédricas, regulares e semi-regulares ou arquimedianas, demiregulares, periódicas e aperiódicas.

As primeiras - as pavimentações puras - são formadas por um único ladrilho.

As pavimentações regulares, são pavimentações em que os ladrilhos são polígonos regulares congruentes, isto é, têm o mesmo tamanho e forma. Só é possível quando se usam triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos. Porquê?

Sabemos que o ângulo interno de um polígono com n lados mede pi - 2pi/n radianos. Se em torno de cada vértice da pavimentação há N polígonos iguais, então N(pi - 2pi/n) = 2pi, que é o mesmo que

N(1 - 2/n) = 2, simplificando. As soluções desta equação serão para n = 3 então N = 6; para n = 4 então N = 4 e para n = 6 então N = 3, o que será, respectivamente, seis triângulos equiláteros, quatro quadrados e três hexágonos regulares. As pavimetações seguintes ilustram exemplos de pavimentações regulares:

As pavimentações semi-regulares ou arquimedianas são aquelas em que os ladrilhos são polígonos regulares de dois ou mais tipos diferentes, em que os vértices da pavimentação são todos do mesmo tipo. Se uma pavimentação é semi-regular, então os seus vértices podem ser de 21 tipos diferentes (pode vê-los aqui). Assim, apenas com 11 dos 21 tipos diferentes de vértices, é possível construir uma pavimentação. Das 11 possíveis, três são as pavimentações regulares já referidas, as oito restantes são arquimedianas, que se podem observar a seguir:

 

As pavimentações demiregulares, são constituídas por mais de um tipo de polígonos regulares e por mais de um tipo de vértices.

As pavimentações periódicas são pavimentações que, ao sofrer uma translação, é possível deslocá-la sobre si mesma, continuando os ladrilhos alinhados.

As pavimentações aperiódicas são pavimentações onde não se repete um padrão, embora seja possível existir a cobertura total do plano, sem espaços intermédios nem sobreposições.

Os primeiros registos com tratamento matemático que existem sobre a teoria das pavimentações devem-se a Johannes Kepler (1571 - 1630). No seu livro Harmonices Mundi (1619), Kepler apresenta uma classificação das pavimentações obtidas a partir dos trabalhos de Platão (c.428 - c. 348 a.C.) e de Arquimedes (287 - 212 a.C.) sobre poliedros. As pavimentações arquimedianas surgem assim por analogia com os poliedros platónicos e arquimedianos. São conhecidos os trabalhos de Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) que utilizou as pavimentações nas suas obras.

Fontes:

Gomes, Francelino; Lima, Yolanda e Viegas, Cristina, XeqMat 10.º ano vol.1, Editorial O Livro

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm22/index.html

Castro, Rosiene de Fátima, Pavimentações no plano euclidiano, Belo Horizonte, 2008

Sólidos Platónicos

Há indícios de que os povos que viveram na Escócia no período Neolítico tenham esculpido alguns destes sólidos mil anos antes da sua referência por Platão (c. 428 a. C. – c. 347 a.C.). Este, ou os seus discípulos, foram os primeiros a demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares: o cubo, o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Foi o estudo intensivo destes sólidos pelos seguidores de Platão que os tornou conhecidos como «poliedros de Platão» ou «sólidos platónicos».

Modelos do Neolítico dos sólidos platónicos

Foram porém os pitagóricos, quem deram a conhecer o tetraedro, o cubo e o dodecaedro, atribuindo-se a Teeteto (415 a.C. – 368 a.C.), discípulo de Platão, a descoberta do octaedro e do icosaedro. Platão na sua obra Timeu explica os fenómenos do Universo através destes poliedros regulares, estabelecendo uma correspondência mística entre o tetraedro e o fogo, o cubo e a terra, o octaedro e o ar e o icosaedro e a água. O dodecaedro foi considerado como a forma que envolve a totalidade do Cosmos.

No século XVI, o astrónomo Johannes Kepler (1571 – 1630) tentou encontrar uma relação entre os cinco sólidos platónicos e os seis planetas que eram conhecidos na época: Mercúrio, Vénus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. Kepler pensou que os dois números estavam relacionados, isto é, que a razão pela qual existiam seis planetas era porque existiam apenas cinco sólidos regulares.

 Em 1596, na sua obra Mysterium Cosmographicum, Kepler estabeleceu um modelo do sistema solar onde os cinco sólidos platónicos eram colocados um dentro do outro, separados por uma série de esferas inscritas. Supôs que as razões entre os raios das órbitas dos planetas coincidiam com as razões entre os raios das esferas. Este modelo, todavia, não era sustentado pelos dados experimentais da época e foi desaprovado por inteiro pelas descobertas posteriores dos planetas Úrano e Neptuno. Contudo, desta pesquisa, nasceram a descoberta de novos sólidos (que hoje, têm o seu nome), a percepção de que as órbitas dos planetas não são círculos, mas elipses e as leis do movimento planetário.