Pavimentações

Se observarmos com atenção os favos de mel, as calçadas, os azulejos aplicados nas nossas cozinhas e casas de banho, verificamos que se tratam de pavimentações.

O que é então uma pavimentação? Uma pavimentação do plano é um conjunto de ladrilhos que cobrem o plano sem deixar espaços intermédios nem sobreposições.

As pavimentações podem classificar-se em vários tipos:pavimentações puras ou monoédricas, regulares e semi-regulares ou arquimedianas, demiregulares, periódicas e aperiódicas.

As primeiras - as pavimentações puras - são formadas por um único ladrilho.

As pavimentações regulares, são pavimentações em que os ladrilhos são polígonos regulares congruentes, isto é, têm o mesmo tamanho e forma. Só é possível quando se usam triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos. Porquê?

Sabemos que o ângulo interno de um polígono com n lados mede pi - 2pi/n radianos. Se em torno de cada vértice da pavimentação há N polígonos iguais, então N(pi - 2pi/n) = 2pi, que é o mesmo que

N(1 - 2/n) = 2, simplificando. As soluções desta equação serão para n = 3 então N = 6; para n = 4 então N = 4 e para n = 6 então N = 3, o que será, respectivamente, seis triângulos equiláteros, quatro quadrados e três hexágonos regulares. As pavimetações seguintes ilustram exemplos de pavimentações regulares:

As pavimentações semi-regulares ou arquimedianas são aquelas em que os ladrilhos são polígonos regulares de dois ou mais tipos diferentes, em que os vértices da pavimentação são todos do mesmo tipo. Se uma pavimentação é semi-regular, então os seus vértices podem ser de 21 tipos diferentes (pode vê-los aqui). Assim, apenas com 11 dos 21 tipos diferentes de vértices, é possível construir uma pavimentação. Das 11 possíveis, três são as pavimentações regulares já referidas, as oito restantes são arquimedianas, que se podem observar a seguir:

 

As pavimentações demiregulares, são constituídas por mais de um tipo de polígonos regulares e por mais de um tipo de vértices.

As pavimentações periódicas são pavimentações que, ao sofrer uma translação, é possível deslocá-la sobre si mesma, continuando os ladrilhos alinhados.

As pavimentações aperiódicas são pavimentações onde não se repete um padrão, embora seja possível existir a cobertura total do plano, sem espaços intermédios nem sobreposições.

Os primeiros registos com tratamento matemático que existem sobre a teoria das pavimentações devem-se a Johannes Kepler (1571 - 1630). No seu livro Harmonices Mundi (1619), Kepler apresenta uma classificação das pavimentações obtidas a partir dos trabalhos de Platão (c.428 - c. 348 a.C.) e de Arquimedes (287 - 212 a.C.) sobre poliedros. As pavimentações arquimedianas surgem assim por analogia com os poliedros platónicos e arquimedianos. São conhecidos os trabalhos de Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) que utilizou as pavimentações nas suas obras.

Fontes:

Gomes, Francelino; Lima, Yolanda e Viegas, Cristina, XeqMat 10.º ano vol.1, Editorial O Livro

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm22/index.html

Castro, Rosiene de Fátima, Pavimentações no plano euclidiano, Belo Horizonte, 2008

Augustus De Morgan e as suas leis

Augustus De Morgan nasceu em Madras, na Índia, a 27 de Junho de 1806. O pai de Augustus , John De Morgan (que faleceu quando Augustus tinha 10 anos), servia na Índia como tenente-coronel ao serviço da Companhia das Índias Orientais, sendo Augustus o seu quinto filho. Augustus perdeu a visão do olho direito pouco tempo depois de nascer e aos sete meses acompanhou a sua família no regresso a Inglaterra.

A combinação da sua deficiência e a falta de socialização não deixou que Augustus se destacasse na escola. Não participava nas brincadeiras com os colegas e chegava a ser vítima de partidas cruéis provocadas por estes. Apesar do seu avô materno ser um eminente professor de Matemática, o talento de Augustus ficou escondido até aos 14 anos, mostrando então que lia Álgebra como se fosse um romance e que tinha muito jeito para desenhar caricaturas.

Em 1823 entrou no Trinity College em Cambridge, sendo influenciado pelos seus mestres George Peacock (1791 - 1858) e William Whewell (1794 - 1866), cimentando-se entre mestres e aluno uma amizade duradoura. Bacharelou-se quatro anos depois, mas como lhe foi pedido um exame teológico para obter o grau de mestre em Artes e Augustus se recusou a realizá-lo - apesar de ser membro da Igreja Anglicana -, não pôde ser eleito para professor em Cambridge, tendo igualmente rejeitado seguir a carreira eclesiática, como era desejo da sua família.


Augustus De Morgan (1806 - 1871)


Em 1826 regressou a Londres, frequentando Lincoln's Inn de forma a preparar-se para exercer advocacia. Em 1827, com 21 anos, candidatou-se ao lugar de professor de Matemática na recém fundada Universidade de Londres, depois conhecida por University College, apesar de não ter publicado nada sobre a matéria. Recomendado por Peacock e Whewell, conseguiu o lugar, tornando-se, em 1818, o primeiro professor de Matemática da Universidade de Londres, intitulando-se a sua primeira lição On the study of Mathematics.

Defensor da tolerância religiosa e intelectual, em 1831 demitiu-se das suas funções devido à demissão sem explicações de um colega professor. Augustus De Morgan regressou ao lugar de professor cinco anos depois, devido à morte por afogamento do seu substituto, e aí permaneceu até 1866, resignando uma vez mais devido à falta de liberdade académica. Em 1830 publica o seu livro Elements of Arithmetic, que foi inúmeras vezes reeditado. Em 1837, desposou Sophia Elizabeth Frend, tendo sete filhos e, no ano seguinte, definiu e introduziu o termo indução matemática num artigo que escrevera para a Penny Ciclopedia - obra publicada pela Society for the Diffusion of Useful Knowledge -  onde escrevera 712 artigos. Foi também aquela associação quem publicou em fascículos a sua obra The Differencial and Integral Calculus (1836 - 1842). Em 1845 introduziu a notação do traço de fracção inclinado, em 1849 publicou Trigonometry and double algebra, onde apresentou uma interpretação geométrica dos números complexos.

Os trabalhos mais importantes de De Morgan são nas áreas das probabilidades e da lógica matemática. Na sua obra Formal Logic (1847), De Morgan acrescentou um novo princípio à lógica aristotélica. Nesta, as premissas "Alguns músicos são artistas" e "Alguns músicos são solteiros", não têm conclusão. A lógica aristotélica afirma que o termo "músicos" é utilizado universalmente e que "todos os músicos" deve ocorrer, porém De Morgan introduziu a forma "A maioria dos músicos são artistas" e "A maioria dos músicos são solteiros".

Além da sua teoria dos silogismos, De Morgan é mais conhecido pelas leis que têm o seu nome - Leis de Morgan: negar que se realizam em simultâneo dois acontecimentos, é afirmar que não se realiza pelo menos um deles e negar que se realiza pelo menos um de dois acontecimentos, é afirmar que não se realiza nem um nem outro. Simbolicamente, as leis são dadas por:

De Morgan foi autor de biografias de Newton e de Halley e publicou vários estudos sobre matemáticos e história das diferentes ideias matemáticas. De Morgan, que foi um excelente professor, acreditava na importância da História da Matemática para os seus alunos, para que estes compreendessem a evolução desta ciência. Correspondeu-se com Charles Babbage (1791 - 1871) e deu lições privadas a Lady Lovelace (1815 - 1852), que foi a autora do primeiro programa de computador para Babbage.

De Morgan nunca aceitou ser membro da Royal Society, alegando que a eleição dos seus membros era mais afectada por influências sociais do que por mérito científico, tendo também rejeitado um grau honorífico da Universidade de Edinburgh. Em 1866, foi um dos fundadores e primeiro presidente da Mathematical Society de Londres.

As mortes prematuras de dois dos seus filhos, afectaram a saúde de De Morgan, que veio a falecer de exaustão nervosa em sua casa, a 18 de Março de 1871.

Aqui, além de uma biografia, há uma lista das obras de De Morgan e uma série de ligações para se conhecer melhor este matemático.

Sólidos Platónicos

Há indícios de que os povos que viveram na Escócia no período Neolítico tenham esculpido alguns destes sólidos mil anos antes da sua referência por Platão (c. 428 a. C. – c. 347 a.C.). Este, ou os seus discípulos, foram os primeiros a demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares: o cubo, o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Foi o estudo intensivo destes sólidos pelos seguidores de Platão que os tornou conhecidos como «poliedros de Platão» ou «sólidos platónicos».

Modelos do Neolítico dos sólidos platónicos

Foram porém os pitagóricos, quem deram a conhecer o tetraedro, o cubo e o dodecaedro, atribuindo-se a Teeteto (415 a.C. – 368 a.C.), discípulo de Platão, a descoberta do octaedro e do icosaedro. Platão na sua obra Timeu explica os fenómenos do Universo através destes poliedros regulares, estabelecendo uma correspondência mística entre o tetraedro e o fogo, o cubo e a terra, o octaedro e o ar e o icosaedro e a água. O dodecaedro foi considerado como a forma que envolve a totalidade do Cosmos.

No século XVI, o astrónomo Johannes Kepler (1571 – 1630) tentou encontrar uma relação entre os cinco sólidos platónicos e os seis planetas que eram conhecidos na época: Mercúrio, Vénus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. Kepler pensou que os dois números estavam relacionados, isto é, que a razão pela qual existiam seis planetas era porque existiam apenas cinco sólidos regulares.

 Em 1596, na sua obra Mysterium Cosmographicum, Kepler estabeleceu um modelo do sistema solar onde os cinco sólidos platónicos eram colocados um dentro do outro, separados por uma série de esferas inscritas. Supôs que as razões entre os raios das órbitas dos planetas coincidiam com as razões entre os raios das esferas. Este modelo, todavia, não era sustentado pelos dados experimentais da época e foi desaprovado por inteiro pelas descobertas posteriores dos planetas Úrano e Neptuno. Contudo, desta pesquisa, nasceram a descoberta de novos sólidos (que hoje, têm o seu nome), a percepção de que as órbitas dos planetas não são círculos, mas elipses e as leis do movimento planetário.

 

Informações importantes

Para o ano lectivo 2010-2011, o GAVE disponibiliza as seguintes informações:

. Informação aos alunos, pais e encarregados de educação sobre o Projecto Testes Intermédios 2010-2011;
. Sobre os testes intermédios de Matemática de 3.º Ciclo;
. Sobre os testes intermédios de Matemática do Secundário.

Para quem quiser saber qual é o calendário escolar para este ano lectivo, aceda aqui.

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